矩阵相关（研究总结，矩阵，矩阵快速幂）
矩阵相关（研究总结，矩阵，矩阵快速幂）
矩阵是计算机数学里一个比较重要的内容，它可以优化很多地方的推导，这里简要地总结一下
什么是矩阵
形如
或
通用形式
这就是矩阵
简单点来说，就是一个二维数组
矩阵乘法
说完了矩阵，那么什么是矩阵乘法呢？
首先说明一点，矩阵乘法A*B要求满足A的行数等于B的列数!,这是由矩阵乘法的运算性质来的。
我们设A*B=T（三个都是矩阵），那么对于T[i][j]来说，$$T[i][j]=\Sigma(A[i][k]*B[k][j])$$
举个例子
（写得有点长，仔细阅读后可以找到规律）
用字母表示就是
说的通俗一点，结果矩阵的第i行第j列等于矩阵A第i行与矩阵B第j列分别乘积的和（现在明白为什么矩阵乘法要求A的行数与B的列数相同了吧，因为要保证有东西乘，若不相等会导致缺少一些项）
快速幂
如果要求数字X的k次方，我们该如何求呢？
最简单的方法就是用一个循环，循环k次，每次相乘。
但这样效率太低，下面来介绍一下快速幂的方法。
我们知道，任何一个十进制的数都可以表示成为二进制的形式，比如12转成二进制就是1100,这同样也表示$$12=23+22$$
那么对于任意一个数k，它就可以表示为：
而我们又知道：
这就可以加速我们的幂运算，下面先给出代码：
int pow(int x,int k)
{
int ans=1;
int res=x;
while (k>0)
{
if (k%2==1)
ans=ans*res;
res=res*res;
k=k/2;
}
return ans;
}
解释一下，ans就是最后我们返回的x^k的值，而res则是一个累乘器，它基于的原理就是上面给出的
当然，上面这个代码还不是最快的，还可以用位运算优化一下
int pow(int x,int k)
{
int ans=1;
int res=x;
while (k>0)
{
if (k&1)
ans=ans*res;
res=res*res;
k=k>>1;
}
return ans;
}
快速幂与矩阵
把快速幂与矩阵乘法相结合就是矩阵快速幂，其中快速幂的过程并不需要修改，只要定义一个关于矩阵的结构体并重载一下乘法运算符就可以了,为了方便运算，同时尽量满足矩阵乘法的性质，下面的矩阵都是n*n的。
class Matrix
{
public:
int n;//n是当前矩阵的大小
int A[maxN][maxN];//maxN就是矩阵的最大大小
Matrix()//初始化矩阵中的所有元素都为０
{
memset(A,0,sizeof(A));
}
}
Matrix operator * (Matrix A,Matrix B)//重载乘法运算
{
Matrix Ans;
int size=A.n;
Ans.n=size;
for (int i=0;i<size;i++)
for (int j=0;j<size;j++)
for (int k=0;k<size;k++)
Ans.A[i][j]+=A.A[i][k]*B.A[k][j];
return Ans;
}
这个有什么用呢，我们下面再说。
矩阵优化
利用矩阵，我们可以优化许多有关于递推和动态规划的问题。
我们先看一个简单的例子：斐波那契数列
我们知道斐波那契数列的递推式是
但是这样递推在i很大的时候效率不高，并且若不用滚动操作，空间消耗也很大。
（你说用通项公式？抱歉，无理数的精度是个问题）
我们考虑如何用矩阵来优化。
什么意思，就是我们希望得到一个式子满足F[i]=A*A[i-1]，这样我们就可以直接得到直接求出F[n]的式子，
再结合快速幂，我们就可以快速解决了。
先别急，我们先想一想我们需要那些状态。
要求出f[i]（注意，这里我们开始用小写，因为我们用大写表示矩阵，而用小写表示原来的递推式中的元素），我们至少需要知道f[i-1]和f[i-2]的信息，所以我们可以列出下面这样的信息矩阵：
我们再看一看我们要得到怎样的目标状态呢？
直接看f[i+1]需要那些元素，很明显，f[i+1]由f[i]和f[i-1]推来，所以我们可以列出下面的目标矩阵:
根据斐波那契数列的普通递推式，我们又可以把上面这个矩阵表示成为下面这种形式：
现在的任务就是要找出一个一个矩阵Ｔ使得F[i-1]*T=F[i]
根据矩阵乘法的运算法则，我们可以得出这个矩阵T:
（这里推荐读者手动计推算一下）
当然，为了方便运算，这里我们把矩阵都补成正方形，方便存储和运算
有了转移矩阵T，我们就可以用快速幂迅速求出斐波那契数列的任意一项了。
好题推荐
下面给出一些矩阵乘法优化的题目，它们都是一些递推的题目，但加强了数据范围，读者可以去熟悉矩阵的相关计算
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更多题目可以到右侧我的随笔分类中数学---矩阵中查看
