Luogu 1349 广义斐波那契数列（递推，矩阵，快速幂）

Luogu 1349 广义斐波那契数列（递推，矩阵，快速幂）

Description

广义的斐波那契数列是指形如$$A_n=pa_{n-1}+qa_{n-2}$$的数列。今给定数列的两系数p和q，以及数列的最前两项a1和a2，另给出两个整数n和m，试求数列的第n项an除以m的余数。

Input

输入包含一行6个整数。依次是p,q,a1,a2,n,m，其中在p,q,a1,a2整数范围内，n和m在长整数范围内。

Output

输出包含一行一个整数，即an除以m的余数。

Sample Input

1 1 1 1 10 7

Sample Output

6

Http

Luogu:https://www.luogu.org/problem/show?pid=1349

Source

递推，矩阵，快速幂

解决思路

如果熟悉了普通斐波那契数列这道题（如果不知道的话请点击链接，里面还有矩阵的相关知识），那么对于广义的斐波那契数列我们不难想到递推矩阵:

\[T=\begin{bmatrix} p & 1 \\ q & 0 \end{bmatrix} \]

所以递推方程就是

\[A_i=A_{i-1}*T=\begin{bmatrix} f_{i-1} & f_{i-2}\\ 0 & 0 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} p & 1 \\ q & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} f_i=f_{i-1}*p+f_{i-2}*q & f_{i-1} \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \]

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define ll long long

const int inf=2147483647;

ll n,Mod,p,q,A1,A2;

class Matrix//定义矩阵结构体
{
public:
    ll M[2][2];
    Matrix()
    {
        memset(M,0,sizeof(M));
    }
    Matrix(ll Arr[2][2])
    {
        for (int i=0;i<2;i++)
            for (int j=0;j<2;j++)
                M[i][j]=Arr[i][j];
    }
};

Matrix operator * (Matrix A,Matrix B)//重载乘法操作
{
    Matrix Ans;
    for (int i=0;i<2;i++)
        for (int j=0;j<2;j++)
            for (int k=0;k<2;k++)
                Ans.M[i][j]=(Ans.M[i][j]+A.M[i][k]*B.M[k][j]%Mod)%Mod;
    return Ans;
}

int main()
{
    cin>>p>>q>>A1>>A2>>n>>Mod;
    if (n==1)//1和2的情况特殊处理（虽然我也不知道是否有特殊点）
    {
        cout<<A1<<endl;
        return 0;
    }
    if (n==2)
    {
        cout<<A2<<endl;
        return 0;
    }
    n=n-2;
    ll a[2][2]={{A2,A1},{0,0}};//初始矩阵
    ll b[2][2]={{p,1},{q,0}};
    Matrix A(a);
    Matrix B(b);
    while (n!=0)//快速幂
    {
        if (n&1)
            A=A*B;
        B=B*B;
        n=n>>1;
    }
    cout<<A.M[0][0]<<endl;
    return 0;
}