Luogu T7152 细胞（递推，矩阵乘法，快速幂）
Luogu T7152 细胞（递推，矩阵乘法，快速幂）
Description
小 X 在上完生物课后对细胞的分裂产生了浓厚的兴趣。于是他决定做实验并
观察细胞分裂的规律。
他选取了一种特别的细胞，每天每个该细胞可以分裂出 x − 1 个新的细胞。
小 X 决定第 i 天向培养皿中加入 i 个细胞（在实验开始前培养皿中无细胞）。
现在他想知道第 n 天培养皿中总共会有多少个细胞。
由于细胞总数可能很多，你只要告诉他总数对 w 取模的值即可。
Input
第一行三个正整数 n, x,w
Output
一行一个数表示第 n 天的细胞总数对 w 取模的值。
Sample Input
2 2 47
Sample Output
4
Http
Luogu（团队私有题目）:https://www.luogu.org/problem/show?pid=T7152
Source
递推，矩阵乘法，快速幂
解决思路
首先考虑数据范围较小的情况，令F[i]表示第i天培养皿中的细胞个数，那么我们可以轻易地推导出递推式：F[i]=x*F[i-1]+i
当然这样是过不了的，这道题的正确解法确实是递推，但是要用矩阵优化!
关于矩阵，可以到我的这篇文章：http://www.cnblogs.com/SYCstudio/p/7211050.html
我们在上面推出了递推式F[i]=x*F[i-1]+i，我们发现若要求出F[i]必须一遍一遍for，并且不能讲这个式子化简，若我们能找到一个式子F[i]=T*F[i-1]，岂不美哉？这样我们就可以直接得到F[n]=F[1]*T^(n-1)，这就可以用快速幂在logn范围内解决了。
矩阵正式这么一个美哉的式子，我们需要运用一些智慧来凑出T矩阵。
首先我们再回到F[i]=x*F[i-1]+i，这其中有两个变量F[i-1]和i，我们发现F[i-1]由F[i-2]推过来，而i则是每次递增常数1。所以，在把F变成矩阵后，我们可以确定这是一个三维矩阵，$$[原有细胞数，新加的细胞数，i递增的常数1]$$,例如第一天就是[0,1,1]，第二天就是[1,2,1]，第三天就是[x+2,3,1],为了方便叙述，我们把该矩阵补成3*3的，即$$\begin{bmatrix} 原有的细胞数 & 第i天新加的细胞数 & i的递增常数1 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$
那么接下来就是脑补出T矩阵啦！
根据矩阵乘法的定义，我们可以得到T矩阵为：
至于怎么得到的呢？说啦要靠脑补要靠从矩阵乘法的定义出发，用0和1来处理在某个位置是否要保留某个数，经过一系列yy然后我们就得到T啦。
接下来我们来检验一下T是否正确。
我们先有一个初值（即第一天）$$F_1=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$$
然后我们计算$$F_2=F_1T=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} X & 0 & 0 \ 1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$$
发现没有，F2的第一行的三个数正好是我们上面的$$[原有细胞数，新加的细胞数，i递增的常数1]$$
如果不信，我们再计算几个
这里强烈建议自己手动模拟一下
矩阵快速幂
既然我们已经有了如此妙啊的矩阵，那我们如果用for循环一个一个累乘岂不是浪费才华吗？看到幂的形式了没有？我们可以把我们再整数幂计算时用到的快速幂算法运用到矩阵上来。
那么这里就是要对矩阵重载一下*运算符就可以了，其他地方均与整数快速幂一致。
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
#define ll long long
ll n,X,Mod;
class Matrix//定义一个矩阵结构体
{
public:
ll M[3][3];
Matrix()//初始化0
{
for (int i=0;i<3;i++)
for (int j=0;j<3;j++)
M[i][j]=0;
}
Matrix(ll Arr[3][3])//用数组来初始化
{
for (int i=0;i<3;i++)
for (int j=0;j<3;j++)
M[i][j]=Arr[i][j];
}
};
Matrix operator * (Matrix A,Matrix B)//重载乘法运算符
{
Matrix Ans;
for (int i=0;i<3;i++)
for (int j=0;j<3;j++)
for (int k=0;k<3;k++)
Ans.M[i][j]=(Ans.M[i][j]+A.M[i][k]*B.M[k][j]%Mod)%Mod;
return Ans;
}
const int inf=2147483647;
ll Pow();
int main()//无比简单的主函数
{
cin>>n>>X>>Mod;
cout<<Pow()<<endl;
return 0;
}
ll Pow()//矩阵快速幂
{
ll a[3][3]={{0,1,1},{0,0,0},{0,0,0}};//初始状态
ll b[3][3]={{X,0,0},{1,1,0},{0,1,1}};//用来使状态发生转移的矩阵，即文中提到的T
Matrix A(a);
Matrix B(b);
while (n!=0)
{
if (n&1)
{
A=A*B;//注意这里的乘法顺序，矩阵乘法不满足交换律
}
B=B*B;
n=n>>1;
}
return A.M[0][0];//根据我们的定义，最后的值就在A.M[0][0]
}
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