组合数专题

求解组合数 C (n, k) % p 的三种方法：

 

方法1(逆元求法)：　　

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const int N = 1e5 + 10; const int MOD = 1e9 + 7; int f[N], finv[N], inv[N];   void init(void) {　　　　//要求MOD是质数，预处理时间复杂度O(n)     inv[1] = 1;     for (int i=2; i<N; ++i) {         inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD%i] % MOD;     }     f[0] = finv[0] = 1;     for (int i=1; i<N; ++i) {         f[i] = f[i-1] * 1ll * i % MOD;         finv[i] = finv[i-1] * 1ll * inv[i] % MOD;     } }   int comb(int n, int k)  {       //C (n, k) % MOD     if (k < 0 || k > n) return 0;     return f[n] * 1ll * finv[n-k] % MOD * finv[k] % MOD; }

 

方法2：　　C(n,m)= C(n,n-m)= C(n-1,m-1)+C(n-1,m)

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const int N = 2000 + 10; const int MOD = 1e9 + 7; int comb[N][N];   void init(void) {　　　　//对MOD没有要求，预处理时间复杂度O(n^2)     for (int i=0; i<N; ++i) {         comb[i][i] = comb[i][0] = 1;         for (int j=1; j<i; ++j) {             comb[i][j] = comb[i-1][j] + comb[i-1][j-1];             if (comb[i][j] >= MOD)  {                 comb[i][j] -= MOD;             }         }     }     //printf ("%d\n", comb[6][3]); }

 

方法3(Lucas定理，大组合数取模， HDOJ 3037为例)：

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ll f[N]; void init(int p) {                 //f[n] = n!     f[0] = 1;     for (int i=1; i<=p; ++i) f[i] = f[i-1] * i % p; }   ll pow_mod(ll a, ll x, int p)   {     ll ret = 1;     while (x)   {         if (x & 1)  ret = ret * a % p;         a = a * a % p;         x >>= 1;     }     return ret; }   ll Lucas(ll n, ll k, int p) {       //C (n, k) % p      ll ret = 1;      while (n && k) {         ll nn = n % p, kk = k % p;         if (nn < kk) return 0;                   //inv (f[kk]) = f[kk] ^ (p - 2) % p         ret = ret * f[nn] * pow_mod (f[kk] * f[nn-kk] % p, p - 2, p) % p;         n /= p, k /= p;      }      return ret; }   int main(void)  {     init (p);     printf ("%I64d\n", Lucas (n + m, n, p));       return 0; }