组合数专题
求解组合数 C (n, k) % p 的三种方法:
方法1(逆元求法):
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 | const int N = 1e5 + 10; const int MOD = 1e9 + 7; int f[N], finv[N], inv[N]; void init( void ) { //要求MOD是质数,预处理时间复杂度O(n) inv[1] = 1; for ( int i=2; i<N; ++i) { inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD%i] % MOD; } f[0] = finv[0] = 1; for ( int i=1; i<N; ++i) { f[i] = f[i-1] * 1ll * i % MOD; finv[i] = finv[i-1] * 1ll * inv[i] % MOD; } } int comb( int n, int k) { //C (n, k) % MOD if (k < 0 || k > n) return 0; return f[n] * 1ll * finv[n-k] % MOD * finv[k] % MOD; } |
方法2: C(n,m)= C(n,n-m)= C(n-1,m-1)+C(n-1,m)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 | const int N = 2000 + 10; const int MOD = 1e9 + 7; int comb[N][N]; void init( void ) { //对MOD没有要求,预处理时间复杂度O(n^2) for ( int i=0; i<N; ++i) { comb[i][i] = comb[i][0] = 1; for ( int j=1; j<i; ++j) { comb[i][j] = comb[i-1][j] + comb[i-1][j-1]; if (comb[i][j] >= MOD) { comb[i][j] -= MOD; } } } //printf ("%d\n", comb[6][3]); } |
方法3(Lucas定理,大组合数取模, HDOJ 3037为例):
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 | ll f[N]; void init( int p) { //f[n] = n! f[0] = 1; for ( int i=1; i<=p; ++i) f[i] = f[i-1] * i % p; } ll pow_mod(ll a, ll x, int p) { ll ret = 1; while (x) { if (x & 1) ret = ret * a % p; a = a * a % p; x >>= 1; } return ret; } ll Lucas(ll n, ll k, int p) { //C (n, k) % p ll ret = 1; while (n && k) { ll nn = n % p, kk = k % p; if (nn < kk) return 0; //inv (f[kk]) = f[kk] ^ (p - 2) % p ret = ret * f[nn] * pow_mod (f[kk] * f[nn-kk] % p, p - 2, p) % p; n /= p, k /= p; } return ret; } int main( void ) { init (p); printf ( "%I64d\n" , Lucas (n + m, n, p)); return 0; } |
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