线性基学习笔记

线性基

最近刚学习了一个叫线性基的东西.
还是很有意思的.

线性基的性质

线性基有一些很妙的性质.

• 线性基是一个\(x\)维向量\(a_1,a_2,a_3...a_x\),其中\(a_i\)最高位的\(1\)在第\(i\)位上.
• 由线性基中的数异或出来的数值域和原来的数异或和值域相同.

线性基的构造

插入一个数\(x\)时,从最高位向最低位扫,如果这一位上线性基为空,那么就插入.否则就让\(x\)异或上这一位的数.

线性基求最大值

从高位往低位扫,如果异或上这一位使答案变大,那么异或.

线性基判断是否出现

从高位往低位扫,如果\(x\)这一位是\(1\),那么异或上这一位.

线性基求第\(k\)小值

首先先重构一下线性基.
如果\(i<j,a_j\)的第\(i\)位是\(1\),那么让\(a_j\)异或上\(a_i\).
那么只有\(a_i\)的第\(i\)位是\(1\),其他都是\(0\).
我们称重构后的线性基为\(b\)
查询时,如果\(k\)的第\(i\)位是\(1\),就异或上\(b_i\)

下面是封装的线性基

struct LB{
	bool flag;
	LL a[N],b[N];
	int cnt; 
	void clear(){
		memset(a,0,sizeof(a)),flag=0;
		memset(b,0,sizeof(b)),cnt=0;
	} 
	void insert(LL x){
		bool ins=0;
		for(int i=62;i>=0;i--){
			if(!((x>>(LL)i)&1ll))continue;
			if(!a[i]){a[i]=x,ins=1;break;}
			x^=a[i];
		}
		if(!ins)flag=1;
	}
	LL getmax(){
		LL ans=0;
		for(int i=62;i>=0;i--)
		if(ans<(ans^a[i]))ans^=a[i];
		return ans;
	}
	bool exist(LL x){
		if(!x)return flag;
		for(LL i=62;i>=0;i--)
		if((x>>i)&1)x^=a[i];
		return x?0:1;
	}
	void rebuild(){
    	for(LL i=62;i>=0;i--)
    	for(LL j=i-1;j>=0;--j)
        if((a[i]>>j)&1)a[i]^=a[j];
    	for(LL i=0;i<=62;++i)if(a[i])b[cnt++]=a[i];
	}
	LL query_kth(LL k){
		if(flag)if(!(--k))return 0;
    	if(k>=(1ll<<cnt))return -1; 
		LL ans=0;
    	for(LL i=62;i>=0;--i)
    	if((k>>i)&1)ans^=b[i];
    	return ans;
	}
}S;

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例题

首先来几道模板题
\(Luogu3812\)
\(HDU3969\)

接下来是一道简单题
\(BZOJ2460\)
只要先按\(v\)从大到小排序,然后每次看看是否能插入\(num\),如果可以,答案就加上\(v\)即可.

接下来是一道稍难题
\(BZOJ2115\)
详细题解戳这里