数学/找规律/sgu 118 Digital root

题意

　　定义f(n)为n各位数字之和，如果n是各位数，则n个数根是f(n)，否则为f(n)的数根

　　现在给出n个Ai，求出A₁*A₂*…*A_N + A₁*A₂*…*A_N-1 + … + A₁*A₂ + A₁ 这个式子的数根

　　多组数据

分析

　　首先，要知道这样一个结论：

　　　　任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和

 

　　具体证明过程如下：

　　设自然数N=a[n]a[n-1]…a[0]，其中a[0]，a[1]、…、a[n]分别是个位、十位、…上的数字

　　再设M=a[0]+a[1]+…+a[n]

　　求证：N≡M(mod 9).

  　证明：
 　　  ∵ N=a[n]a[n-1]…a[0]=a[n]*10^n+a[n-1]*10^(n-1)+…+a[1]*10+a[0].
 　　 又∵ 1≡1(mod 9),
     　　 10≡1(mod 9),
   　　   10^2≡1(mod 9),
  　　      … 
 　　     10^n≡1(mod 9).
 　　 上面这些同余式两边分别同乘以a[0]、a[1]、a[2]、…、a[n]，再相加得：
 　　　　 a[0]+a[1]*10+…+a[n]*10^n≡(a[0]+a[1]+…+a[n])(mod 9)，
  　　　　　　　　　　　　　　　　  即 N≡M(mod 9)，得证。

 

　　有了这个性质就容易解决本题了

　　在计算过程中，可以不断mod 9，因为我们知道有这样两个性质：

　　　　(A+B)mod C = （(A mod C) + (B mod C)）mod C   
　　　　(AB)mod C = ((A mod C)×(B mod C)) mod C

　还要注意，如果余数为0，则输出9

 

Accepted Code

/*
    PROBLEM:sgu118
    AUTHER:Rinyo
    MEMO:数学 找规律
*/
#include<cstdio>
#include<cstring>
int a[1030];
int main()
{
    int tot;
    scanf("%d",&tot);
    while (tot--)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        memset(a,0,sizeof(a));
        for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
        int sum=1;
        for (int i=n;i>1;i--) {sum*=a[i]%9;sum++;sum%=9;}
        sum*=a[1]%9;sum%=9;
        printf("%d\n",sum?sum:9);
    }
    return 0;
}