算法第五章作业

1.你对回溯算法的理解

回溯算法就是一种有组织的系统最优化搜索技术，可以看作蛮力法穷举搜索的改进。它的实质就是在问题的解空间进行深度优先搜索。回溯法常常可以避免搜索所有可能的解，所以它适用于求解组织数量较大的问题。

回溯法的一般步骤：

      （1）.针对所给问题，定义问题的解空间，它至少包含问题的一个（最优）解。

      （2）.确定易于搜索的解空间结构，使得能用回溯法方便地搜索整个解空间。

      （3）.以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

用回溯法求解问题时，常常遇到两种典型的解空间树：

　　（1）子集树：但所有的问题是从n个元素的集合中找出满足某种性质的子集时，相应的解空间树成为子集树

　　（2）排列树：当所给出问题是确定n个元素满足某种性质的排列时，相应的解空间称为排列树。          

剪枝函数（避免无效搜索）：

      （1）用约束条件剪除得不到的可行解的子树

　　（2）用目标函数剪取得不到的最优解的子树

回溯法的优点在于其结构明确，可读性强，易于理解，而且通过对问题的分析可以大大提高运行效率。

2.请说明“子集和”问题的解空间结构和约束函数

7-1 子集和问题 （50 分）

设集合S={x1,x2,…,xn}是一个正整数集合，c是一个正整数，子集和问题判定是否存在S的一个子集S1，使S1中的元素之和为c。试设计一个解子集和问题的回溯法。

输入格式:

输入数据第1行有2个正整数n和c，n表示S的大小，c是子集和的目标值。接下来的1行中，有n个正整数，表示集合S中的元素。 是子集和的目标值。接下来的1 行中，有n个正整数，表示集合S中的元素。

输出格式:

输出子集和问题的解，以空格分隔，最后一个输出的后面有空格。当问题无解时，输出“No Solution!”。

输入样例:

在这里给出一组输入。例如：

5 10
2 2 6 5 4

输出样例:

在这里给出相应的输出。例如：

2 2 6 

解空间结构：

约束函数：

用rest来表示从当前元素加到最后一个元素的总和，用来回溯时判断限界剪枝

当sum + rest >= c，即当前所选元素之和+从当前元素加到最后一个元素的总和>=目标值时，走右子树。

#代码

//
//  main.cpp
//  123
//
//  Created by 王子涵 on 2017/12/5.
//  Copyright © 2017年 王子涵. All rights reserved.
//

// ConsoleApplication1.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
//

#include<iostream>
using namespace std;
#define N 10000
int n, c, rest = 0;
int a[N];
int x[N] = {0};
int sum = 0;
bool backtrack(int t)
{
    if( sum == c )
        return true; 
    if( t > n )
        return false ;
    
    rest-=a[t];
    if(sum + a[t] <= c)
    {
        x[t] = 1 ;
        sum = sum+a[t] ;
        if ( backtrack(t+1) )
            return true;
        sum -= a[t];
    }
    if( sum + rest >= c) 
    {
        x[t] = 0 ;
        if ( backtrack(t+1) )
            return true;
    }
    rest += a[t];
    return false;
}
int main()
{
    cin >>n>>c;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i];
        rest += a[i];
    }
    if (!backtrack(1)) cout << "No Solution!";
    else
        for( int i = 1; i <= n; i++)
            if ( x[i] )
                cout << a[i] << " ";
    cout << endl;
    return 0;
}

 

3.请说明在本章学习过程中遇到的问题及结对编程的情况

 本章学习过程中遇到的问题是如何构造解空间树以及进行剪枝，前者关乎解题思路，剪枝方法关乎效率。结对编程讨论加快了我们对解空间树的构造，同时也能很快的确定剪枝方法，加快了做题效率。