浅谈线段树
浅谈线段树
一、总结
一句话总结:
线段树和树状数组一样,都是解决 多次区间查询问题
1、线段树解决的问题是什么问题?
多次区间查询问题:给出n个数,n<=100,和m个询问,每次询问区间[l,r]的和,并输出
2、线段树如何存储数据?
用二叉树,叶子节点存每个元素的值,非叶子节点存所有叶子孩子的元素的和
3、线段树的基本思想?
二分
4、线段树的修改?
懒标记:修改的话设置懒标记,用到的时候再修改对应的节点
二、浅谈线段树(转)
转自:浅谈线段树
https://www.cnblogs.com/TheRoadToTheGold/p/6254255.html
数据结构——线段树
O、引例
A.给出n个数,n<=100,和m个询问,每次询问区间[l,r]的和,并输出。
一种回答:这也太简单了,O(n)枚举搜索就行了。
另一种回答:还用得着o(n)枚举,前缀和o(1)就搞定。
那好,我再修改一下题目。
B.给出n个数,n<=100,和m个操作,每个操作可能有两种:1、在某个位置加上一个数;2、询问区间[l,r]的和,并输出。
回答:o(n)枚举。
动态修改最起码不能用静态的前缀和做了。
好,我再修改题目:
C.给出n个数,n<=1000000,和m个操作,每个操作可能有两种:1、在某个位置加上一个数;2、询问区间[l,r]的和,并输出。
回答:o(n)枚举绝对超时。
再改:
D,给出n个数,n<=1000000,和m个操作,每个操作修改一段连续区间[a,b]的值
回答:从a枚举到b,一个一个改。。。。。。有点儿常识的人都知道超时
那怎么办?这就需要一种强大的数据结构:线段树。
一、基本概念
1、线段树是一棵二叉搜索树,它储存的是一个区间的信息。
2、每个节点以结构体的方式存储,结构体包含以下几个信息:
区间左端点、右端点;(这两者必有)
这个区间要维护的信息(事实际情况而定,数目不等)。
3、线段树的基本思想:二分。
4、线段树一般结构如图所示:
5、特殊性质:
由上图可得,
1、每个节点的左孩子区间范围为[l,mid],右孩子为[mid+1,r]
2、对于结点k,左孩子结点为2*k,右孩子为2*k+1,这符合完全二叉树的性质
二、线段树的基础操作
注:以下基础操作均以引例中的求和为例,结构体以此为例:
struct node
{
int l,r,w;//l,r分别表示区间左右端点,w表示区间和
}tree[4*n+1];
线段树的基础操作主要有5个:
建树、单点查询、单点修改、区间查询、区间修改。
1、建树,即建立一棵线段树
① 主体思路:a、对于二分到的每一个结点,给它的左右端点确定范围。
b、如果是叶子节点,存储要维护的信息。
c、状态合并。
②代码
void build(int l,int r,int k) { tree[k].l=l;tree[k].r=r; if(l==r)//叶子节点 { scanf("%d",&tree[k].w); return ; } int m=(l+r)/2; build(l,m,k*2);//左孩子 build(m+1,r,k*2+1);//右孩子 tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w;//状态合并,此结点的w=两个孩子的w之和 }
③注意
a.结构体要开4倍空间,为啥自己画一个[1,10]的线段树就懂了
b.千万不要漏了return语句,因为到了叶子节点不需要再继续递归了。
2、单点查询,即查询一个点的状态,设待查询点为x
①主体思路:与二分查询法基本一致,如果当前枚举的点左右端点相等,即叶子节点,就是目标节点。如果不是,因为这是二分法,所以设查询位置为x,当前结点区间范围为了l,r,中点为 mid,则如果x<=mid,则递归它的左孩子,否则递归它的右孩子
②代码
void ask(int k) { if(tree[k].l==tree[k].r) //当前结点的左右端点相等,是叶子节点,是最终答案 { ans=tree[k].w; return ; } int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(x<=m) ask(k*2);//目标位置比中点靠左,就递归左孩子 else ask(k*2+1);//反之,递归右孩子 }
③正确性分析:
因为如果不是目标位置,由if—else语句对目标位置定位,逐步缩小目标范围,最后一定能只到达目标叶子节点。
3、单点修改,即更改某一个点的状态。用引例中的例子,对第x个数加上y
①主体思路
结合单点查询的原理,找到x的位置;根据建树状态合并的原理,修改每个结点的状态。
②代码
void add(int k) { if(tree[k].l==tree[k].r)//找到目标位置 { tree[k].w+=y; return; } int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(x<=m) add(k*2); else add(k*2+1); tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w;//所有包含结点k的结点状态更新 }
4、区间查询,即查询一段区间的状态,在引例中为查询区间[x,y]的和
①主体思路
mid=(l+r)/2
y<=mid ,即 查询区间全在,当前区间的左子区间,往左孩子走
x>mid 即 查询区间全在,当前区间的右子区间,往右孩子走
否则,两个子区间都走
②代码
void sum(int k) { if(tree[k].l>=x&&tree[k].r<=y) { ans+=tree[k].w; return; } int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(x<=m) sum(k*2); if(y>m) sum(k*2+1); }
③正确性分析
情况1,3不用说,对于情况2,最差情况是搜到叶子节点,此时一定满足情况1
5、区间修改,即修改一段连续区间的值,我们已给区间[a,b]的每个数都加x为例讲解
Ⅰ.引子
有人可能就想到了:
修改的时候只修改对查询有用的点。
对,这就是区间修改的关键思路。
为了实现这个,我们引入一个新的状态——懒标记。
Ⅱ 懒标记
(懒标记比较难理解,我尽力讲明白。。。。。。)
1、直观理解:“懒”标记,懒嘛!用到它才动,不用它就睡觉。
2、作用:存储到这个节点的修改信息,暂时不把修改信息传到子节点。就像家长扣零花钱,你用的时候才给你,不用不给你。
3、实现思路(重点):
a.原结构体中增加新的变量,存储这个懒标记。
b.递归到这个节点时,只更新这个节点的状态,并把当前的更改值累积到标记中。注意是累积,可以这样理解:过年,很多个亲戚都给你压岁钱,但你暂时不用,所以都被你父母扣下了。
c.什么时候才用到这个懒标记?当需要递归这个节点的子节点时,标记下传给子节点。这里不必管用哪个子节点,两个都传下去。就像你如果还有妹妹,父母给你们零花钱时总不能偏心吧
d.下传操作:
3部分:①当前节点的懒标记累积到子节点的懒标记中。
②修改子节点状态。在引例中,就是原状态+子节点区间点的个数*父节点传下来的懒标记。
这就有疑问了,既然父节点都把标记传下来了,为什么还要乘父节点的懒标记,乘自己的不行吗?
因为自己的标记可能是父节点多次传下来的累积,每次都乘自己的懒标记造成重复累积
③父节点懒标记清0。这个懒标记已经传下去了,不清0后面再用这个懒标记时会重复下传。就像你父母给了你5元钱,你不能说因为前几次给了你10元钱, 所以这次给了你15元,那你不就亏大了。
懒标记下穿代码:f为懒标记,其余变量与前面含义一致。
void down(int k) { tree[k*2].f+=tree[k].f; tree[k*2+1].f+=tree[k].f; tree[k*2].w+=tree[k].f*(tree[k*2].r-tree[k*2].l+1); tree[k*2+1].w+=tree[k].f*(tree[k*2+1].r-tree[k*2+1].l+1); tree[k].f=0; }
Ⅲ 完整的区间修改代码:
void add(int k) { if(tree[k].l>=a&&tree[k].r<=b)//当前区间全部对要修改的区间有用 { tree[k].w+=(tree[k].r-tree[k].l+1)*x;//(r-1)+1区间点的总数 tree[k].f+=x; return; } if(tree[k].f) down(k);//懒标记下传。只有不满足上面的if条件才执行,所以一定会用到当前节点的子节点 int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(a<=m) add(k*2); if(b>m) add(k*2+1); tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w;//更改区间状态 }
Ⅳ.懒标记的引入对其他基本操作的影响
因为引入了懒标记,很多用不着的更改状态存了起来,这就会对区间查询、单点查询造成一定的影响。
所以在使用了懒标记的程序中,单点查询、区间查询也要像区间修改那样,对用得到的懒标记下传。其实就是加上一句if(tree[k].f) down(k),其余不变。
2017.5.16 之前写的单点修改不需要下传懒标记,在此订正:单点修改也需要下传懒标记
引入了懒标记的单点查询代码:
void ask(int k)//单点查询 { if(tree[k].l==tree[k].r) { ans=tree[k].w; return ; } if(tree[k].f) down(k);//懒标记下传,唯一需要更改的地方 int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(x<=m) ask(k*2); else ask(k*2+1); }
引入了懒标记的区间查询代码:
void sum(int k)//区间查询 { if(tree[k].l>=x&&tree[k].r<=y) { ans+=tree[k].w; return; } if(tree[k].f) down(k)//懒标记下传,唯一需要更改的地方 int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(x<=m) sum(k*2); if(y>m) sum(k*2+1); }
三、总结
线段树5种基本操作代码:
#include<cstdio> using namespace std; int n,p,a,b,m,x,y,ans; struct node { int l,r,w,f; }tree[400001]; inline void build(int k,int ll,int rr)//建树 { tree[k].l=ll,tree[k].r=rr; if(tree[k].l==tree[k].r) { scanf("%d",&tree[k].w); return; } int m=(ll+rr)/2; build(k*2,ll,m); build(k*2+1,m+1,rr); tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w; } inline void down(int k)//标记下传 { tree[k*2].f+=tree[k].f; tree[k*2+1].f+=tree[k].f; tree[k*2].w+=tree[k].f*(tree[k*2].r-tree[k*2].l+1); tree[k*2+1].w+=tree[k].f*(tree[k*2+1].r-tree[k*2+1].l+1); tree[k].f=0; } inline void ask_point(int k)//单点查询 { if(tree[k].l==tree[k].r) { ans=tree[k].w; return ; } if(tree[k].f) down(k); int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(x<=m) ask_point(k*2); else ask_point(k*2+1); } inline void change_point(int k)//单点修改 { if(tree[k].l==tree[k].r) { tree[k].w+=y; return; } if(tree[k].f) down(k); int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(x<=m) change_point(k*2); else change_point(k*2+1); tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w; } inline void ask_interval(int k)//区间查询 { if(tree[k].l>=a&&tree[k].r<=b) { ans+=tree[k].w; return; } if(tree[k].f) down(k); int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(a<=m) ask_interval(k*2); if(b>m) ask_interval(k*2+1); } inline void change_interval(int k)//区间修改 { if(tree[k].l>=a&&tree[k].r<=b) { tree[k].w+=(tree[k].r-tree[k].l+1)*y; tree[k].f+=y; return; } if(tree[k].f) down(k); int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(a<=m) change_interval(k*2); if(b>m) change_interval(k*2+1); tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w; } int main() { scanf("%d",&n);//n个节点 build(1,1,n);//建树 scanf("%d",&m);//m种操作 for(int i=1;i<=m;i++) { scanf("%d",&p); ans=0; if(p==1) { scanf("%d",&x); ask_point(1);//单点查询,输出第x个数 printf("%d",ans); } else if(p==2) { scanf("%d%d",&x,&y); change_point(1);//单点修改 } else if(p==3) { scanf("%d%d",&a,&b);//区间查询 ask_interval(1); printf("%d\n",ans); } else { scanf("%d%d%d",&a,&b,&y);//区间修改 change_interval(1); } } }
四、空间优化
父节点k,左二子2*k,右儿子2*k+1,需要4*n的空间
但并不是所有的叶子节点占用到2n+1——4n
这就造成大量空间浪费
2*n空间表示法:推荐博客:http://www.cppblog.com/MatoNo1/archive/2015/05/05/195857.html
用dfs序表示做节点下标
父节点k,左儿子k+1,右儿子:k+左儿子区间长度*2,不是父节点下标+父节点区间长度。因为当树不满时,两者不相等
具体实现这里就不再写模板了,就是改改左右儿子的下标
可参考代码: 题目:楼房重建 http://www.cnblogs.com/TheRoadToTheGold/p/6361242.html
里面的建树用的2*n空间
五、模板题
1、codevs 1080 线段树练习 (单点修改+区间查询) http://codevs.cn/problem/1080/
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
#include<cstdio> using namespace std; int n,m,p,x,y,ans; struct node { int l,r,w; }tree[400001]; inline void build(int l,int r,int k) { tree[k].l=l;tree[k].r=r; if(l==r) { scanf("%d",&tree[k].w); return ; } int m=(l+r)/2; build(l,m,k*2); build(m+1,r,k*2+1); tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w; } inline void add(int k) { if(tree[k].l==tree[k].r) { tree[k].w+=y; return; } int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(x<=m) add(k*2); else add(k*2+1); tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w; } inline void sum(int k) { if(tree[k].l>=x&&tree[k].r<=y) { ans+=tree[k].w; return; } int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(x<=m) sum(k*2); if(y>m) sum(k*2+1); } int main() { scanf("%d",&n); build(1,n,1); scanf("%d",&m); for(int i=1;i<=m;i++) { scanf("%d%d%d",&p,&x,&y); ans=0; if(p==1) add(1); else { sum(1); printf("%d\n",ans); } } }
2、codevs 1081 线段树练习2 (单点查询+区间修改) http://codevs.cn/problem/1081/
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
#include<cstdio> using namespace std; int n,p,a,b,m,x,ans; struct node { int l,r,w,f; }tree[400001]; inline void build(int k,int ll,int rr) { tree[k].l=ll,tree[k].r=rr; if(tree[k].l==tree[k].r) { scanf("%d",&tree[k].w); return; } int m=(ll+rr)/2; build(k*2,ll,m); build(k*2+1,m+1,rr); tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w; } inline void down(int k) { tree[k*2].f+=tree[k].f; tree[k*2+1].f+=tree[k].f; tree[k*2].w+=tree[k].f*(tree[k*2].r-tree[k*2].l+1); tree[k*2+1].w+=tree[k].f*(tree[k*2+1].r-tree[k*2+1].l+1); tree[k].f=0; } inline void add(int k) { if(tree[k].l>=a&&tree[k].r<=b) { tree[k].w+=(tree[k].r-tree[k].l+1)*x; tree[k].f+=x; return; } if(tree[k].f) down(k); int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(a<=m) add(k*2); if(b>m) add(k*2+1); tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w; } inline void ask(int k) { if(tree[k].l==tree[k].r) { ans=tree[k].w; return; } if(tree[k].f) down(k); int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(x<=m) ask(k*2); else ask(k*2+1); } int main() { scanf("%d",&n); build(1,1,n); scanf("%d",&m); for(int i=1;i<=m;i++) { scanf("%d",&p); if(p==1) { scanf("%d%d%d",&a,&b,&x); add(1); } else { scanf("%d",&x); ask(1); printf("%d\n",ans); } } }
3、codevs 1082 线段树练习3 (区间修改+区间查询)
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
#include<cstdio> using namespace std; int n,p,a,b,m,x,y; long long ans; struct node { long long l,r,w,f; }tree[800001]; inline void build(int k,int ll,int rr)//建树 { tree[k].l=ll,tree[k].r=rr; if(tree[k].l==tree[k].r) { scanf("%d",&tree[k].w); return; } int m=(ll+rr)/2; build(k*2,ll,m); build(k*2+1,m+1,rr); tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w; } inline void down(int k)//标记下穿 { tree[k*2].f+=tree[k].f; tree[k*2+1].f+=tree[k].f; tree[k*2].w+=tree[k].f*(tree[k*2].r-tree[k*2].l+1); tree[k*2+1].w+=tree[k].f*(tree[k*2+1].r-tree[k*2+1].l+1); tree[k].f=0; } inline void ask_interval(int k)//区间查询 { if(tree[k].l>=a&&tree[k].r<=b) { ans+=tree[k].w; return; } if(tree[k].f) down(k); int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(a<=m) ask_interval(k*2); if(b>m) ask_interval(k*2+1); } inline void change_interval(int k)//区间修改 { if(tree[k].l>=a&&tree[k].r<=b) { tree[k].w+=(tree[k].r-tree[k].l+1)*y; tree[k].f+=y; return; } if(tree[k].f) down(k); int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; if(a<=m) change_interval(k*2); if(b>m) change_interval(k*2+1); tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w; } int main() { scanf("%d",&n); build(1,1,n); scanf("%d",&m); for(int i=1;i<=m;i++) { scanf("%d",&p); ans=0; if(p==1) { scanf("%d%d%d",&a,&b,&y);//区间修改 change_interval(1); } else { scanf("%d%d",&a,&b);//区间查询 ask_interval(1); printf("%lld\n",ans); } } }
六、经典例题
> codevs 3981/SPOJ GSS1/GSS3 ——区间最大子段和
> Bzoj3813 奇数国——区间内某个值是否出现过
>洛谷 P2894 酒店 Hotel ——区间连续一段空的长度
> codevs 2421 /Bzoj1858 序列操作——多种操作
> codevs 2000 / BZOJ 2957: 楼房重建——区间的最长上升子序列
Codevs3044 矩形面积求并——扫描线
代码的话到随笔分类——线段树里找找吧 http://www.cnblogs.com/TheRoadToTheGold/category/933602.html