博客开篇：几道思考题

一。

题干：在一个超级大操场上，站着123456个士兵，分别是1号、2号、3号……123456号。将军叫道：“单号的走开！”于是单号的全走光，剩下的人又按从小到大重新生成新编号。将军又叫道：“单号的走开！”然后重新生成的单号又全部走开。如此重复若干次，最后只剩下一人。
问：这个人最初的号数是多少？

 

思考：

1.先不管操场上一共有多少士兵，考虑最简单的情况，假设剩下的人最初的号数为D，则要想最后留下，D必须在除了最后一次之外每一次都要排在偶数位（否则它一旦排在奇数位，就要被扔掉）。

2.而每次扔掉奇数位，剩下的人的号数都要在当前号数的基础上除以2。

3.因为一开始的时候每个数字的号数就是数字本身，这样D每次排列后的位数都是D除以2的n次方的商，所以要让D每一次都排在偶数位等价于D每一次除以2的n次方的商都是偶数（最后一次除外），直到最后商为1，就剩下它自己。这就是说D必须是2的n次方（n>=1)。

4.也就是说每一个2的n次方数都有可能是最后留下的那个数，那如果在士兵总数给定的情况下，我们怎么去找这个数D呢？
因为每一次排列都是位数除以2，所以当除以2到某一次的时候可能的2的n次方数最小的就是2的1次方，也就是2，然后是2次方（4），3次方（8），……，（当然此时还有非2的n次方的数存在），考虑简单一点，最大的2的n次方数是8的情况，这样再除一次，2就变成1了，也就是奇数位了，被扔掉，剩下4最小，如果这时候有8，则只剩下4和8了（其它的数<6>都在某一次除以2的时候成奇数位<3>被扔掉了），这样最后就剩下8；但如果这时候没有8，那就剩下4唯一一个了。
这样的话可以以此类推，最后剩下的D是所有出现的最大的2的n次方数，就是说同一个n的条件下在2的n+1次方出现之前，最后剩下的都是2的n次方。

结论：剩下的最后的数D就是小于给定数的最大的2的n次方数，本题给定数是123456，2的16次方是65536，2的17次方是131072，大于123456，所以最后剩下的是65536. 

 

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二。

 

题干：每架飞机只有一个油箱，飞机之间可以相互加油，一箱油可供一架飞机绕地球赤道飞半圈。 

问:为使至少一架飞机绕地球赤道一圈回到起飞时的飞机场（此飞机场位于赤道上），至少需要出动几架飞机？ 

思考：前提：1 尽量用最少飞机 2 充分利用带的油

假设下面图的a到e点就是赤道的一圈，b,c,d分别是3个四等分点，那么最后完成的示意图如下（图1）（头顶上的数字表示离完成还需要的油桶数，以下同）
                    0
 |__|__|__|__|
 a   b   c   d   e

       图1
为了让一架飞机要跑完赤道一圈，就是说让这架飞机在c点的时候油箱的油是满的，这样可以简化这幅图（图2）：
          1
 |__|__|
 a   b   c

     图2
就是说在从a飞到c以后所有飞机只要剩下一桶油就可以了，但是要让它在c点的时候有一桶油，它自己是不可能可以独立从b飞到c的，所以从b到c至少有2架在飞，那它们一起从b到c要消耗掉1桶油，这样就再简化一下（图3）：
      2
 |__|
 a  b

  图3
那么从a到b每架飞机要消耗1/2桶油，假设有x架飞机，要让它们飞到b的时候一起留下2桶油（因为可以互相加油，所以每架飞机的油都转移到可以飞更远的飞机上了，绝对不会浪费），就可以得出：
1/2x=(x-2) <=>x=4.
答案为4架。