第二宇宙速度的小学生难度推导

本文通过非微积分方式推导第二宇宙速度的具体值与其和第一宇宙速度的关系。

定义：

当地球上一个抛射体以第二宇宙速度 $v_2$ 运行时可以脱离地球而成为太阳或其它行星的环绕天体。

（又称 脱离速度）

推导：

如果不考虑空气阻力，发现该抛射体发射后只受重力作用，满足机械能守恒定律。

根据动能与引力势能公式：

$E_k = \frac{1}{2} mv^2$   $E_p = -G\frac{Mm}{R}$

可知刚开始机械能为

$E = E_k + E_p = \frac{1}{2} mv_2^2 -G\frac{Mm}{r}$   $r = R$

根据宇宙第二速度的定义，可知 $r \rightarrow INF$

再根据 $v \rightarrow 0$

所以到后面机械能为 $0$

再根据机械能守恒定律，有

$E_k + E_p = 0$

即

$ \frac{1}{2} mv_2^2 = G\frac{Mm}{R}$

解得 $v_2 = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = 11.2(km/s)$

和第一宇宙速度 $v_1$ 的关系

发现 $v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$

所以 $v_2 = \sqrt{2}$ $v_1$

其实 $v_1$ 就是在地球上平抛掉不到地上的最小速度， $v_2$ 就是在地球上竖直上抛掉不到地上的最小速度。