C++ 备忘录 (1)

  • 取模:

  1. 转载自:http://ceeji.net/blog/mod-in-real/

 1 背景
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 3 最近在一道 Java 习题中,看到这样的一道题:
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 5 What is the output when this statement executed:
 6 System.out.printf(-7 % 3);
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 8 正整数的取余运算大家都很熟悉,但是对于负数、实数的取余运算,确实给人很新鲜的感觉。于是我对此进行了一些探索。我发现,这里面还是颇有一点可以探索的东西的。
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10 探究
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12 首先,看看自然数的取模运算(定义1):
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14 如果a和d是两个自然数,d非零,可以证明存在两个唯一的整数 q 和 r,满足 a = qd + r 且0 ≤ r < d。其中,q 被称为商,r 被称为余数。
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16 那么对于负数,是否可以沿用这样的定义呢?我们发现,假如我们按照正数求余的规则求 (-7) mod 3 的结果,就可以表示 -7 为 (-3)* 3 +2。其中,2是余数,-3是商。
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18 那么,各种编程语言和计算器是否是按照这样理解的呢?下面是几种软件中对此的理解。
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20 语言    语句    输出
21 C++(G++ 编译)    cout << (-7) % 3;    -1
22 Java(1.6)    System.out.println((-7) % 3);    -1
23 Python 2.6    (-7) % 3    2
24 百度计算器    (-7) mod 3    2
25 Google 计算器    (-7) mod 3    2
26 可以看到,结果特别有意思。这个问题是百家争鸣的。看来我们不能直接把正数的法则加在负数上。实际上,在整数范围内,自然数的求余法则并不被很多人所接受,大家大多认可的是下面的这个定义2。
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28 如果a 与d 是整数,d 非零,那么余数 r 满足这样的关系:
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30 a = qd + r , q 为整数,且0 ≤ |r| < |d|31 
32 可以看到,这个定义导致了有负数的求余并不是我们想象的那么简单,比如,-12 都是 (-7) mod 3 正确的结果,因为这两个数都符合定义。这种情况下,对于取模运算,可能有两个数都可以符合要求。我们把 -12 分别叫做正余数和负余数。通常,当除以d 时,如果正余数为r1,负余数为r2,那么有
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34 r1 = r2 + d
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36 对负数余数不明确的定义可能导致严重的计算问题,对于处理关键任务的系统,错误的选择会导致严重的后果。
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38 看完了 (-7) mod 3,下面我们来看一看 7 mod (-3) 的情况(看清楚,前面是 7 带负号,现在是 3 带负号)。根据定义2,7 = (-3) * (-2) + 1 或7 = (-3) * (-3) -2,所以余数为 1 或 -239 
40 语言    语句    输出
41 C++(G++ 编译)    cout << 7 % (-3);    1
42 Java(1.6)    System.out.println(7 % (-3));    1
43 Python 2.6    7 % (-3)    -2
44 百度计算器    7 mod (-3)    -2
45 Google 计算器    7 mod (-3)    -2
46 从中我们看到几个很有意思的现象:
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48 Java 紧随 C++ 的步伐,而 Python、Google、百度步调一致。难道真是物以类聚?联想一下,Google 一直支持 Python,Python 也颇有 Web 特色的感觉,而且 Google Application Engine 也用的 Python,国内的搜索引擎也不约而同地按照 Google 的定义进行运算。
49 可以推断,C++ 和 Java 通常会尽量让商更大一些。比如在 (-7) mod 3中,他们以 -2 为商,余数为 -1。在 Python 和 Google 计算器中,尽量让商更小,所以以 -3 为商。在 7 mod (-3) 中效果相同:C++ 选择了 3 作为商,Python 选择了 2 作为商。但是在正整数运算中,所有语言和计算器都遵循了尽量让商小的原则,因此 7 mod 3 结果为 1 不存在争议,不会有人说它的余数是-250 如果按照第二点的推断,我们测试一下 (-7) mod (-3),结果应该是前一组语言(C++,Java)返回 2,后一组返回 -1。(请注意这只是假设)
51 于是我做了实际测试:
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53 语言    语句    输出
54 C++(G++ 编译)    cout << -7 % (-3);    -1
55 Java(1.6)    System.out.println(-7 % (-3));    -1
56 Python 2.6    -7 % (-3)    -1
57 百度计算器    -7 mod (-3)    -1
58 Google 计算器    -7 mod (-3)    -1
59 结果让人大跌眼镜,所有语言和计算机返回结果完全一致。
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61 总结
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63 我们由此可以总结出下面两个结论:
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65 对于任何同号的两个整数,其取余结果没有争议,所有语言的运算原则都是使商尽可能小。
66 对于异号的两个整数,C++/Java语言的原则是使商尽可能大,很多新型语言和网页计算器的原则是使商尽可能小。
67 拓展
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69 最后是拓展时间。对于实数,我们也可以定义取模运算(定义3)。
70 
71 当 a 和 d 是实数,且d 非零, a 除以 d 会得到另一个实数(商),没有所谓的剩余的数。但如果要求商为一个整数,则余数的概念还是有必要的。可以证明:存在唯一的整数商 q 和唯一的实数 r 使得: a = qd + r, 0 ≤ r < |d|. (转自维基百科)
72 
73 如上在实数范围内扩展余数的定义在数学理论中并不重要,尽管如此,很多程序语言都实现了这个定义。至于哪些程序语言实现了这个定义,就留给大家自己探究吧!
View Code

  

  2. 5%7=5   4%9=4

    小数除大数商0余本身

 

  • while后如果没有花括号"{" "}",则默认紧跟着while的那一句是循环体。
  • TJU 小号:tjuacm2015

posted on 2015-01-30 21:42  Oliver-cs  阅读(202)  评论(0编辑  收藏  举报

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