例10-2 uva12169（扩展欧几里得）

题意：已知xi=(a*xi-1+b) mod 10001，且告诉你x1,x3.........x2*t-1,让你求出其偶数列

思路：

枚举a，然后通过x1，x3求出b，再验证是否合适

1.设a, b, c为任意整数。若方程ax+by=c的一组整数解为(x0,y0)，则它的任
意整数解都可以写成(x0+kb', y0-ka')，其中a'=a/gcd(a,b)，b'=b/gcd(a,b)，k取任意整数。

2.设a, b, c为任意整数，g=gcd(a,b)，方程ax+by=g的一组解是(x0,y0)，则
当c是g的倍数时ax+by=c的一组解是(x0c/g, y0c/g)；当c不是g的倍数时无整数解。

 

x2 = (a * x1 + b) % 10001;

x3 = (a * x2 + b) % 10001;

联立2个式子

x3 = (a * (a * x1 + b) % 10001 + b ) % 10001;

x3 = (a * (a * x1 + b) + b) % 10001;

所以 x3 + 10001 * k = a * a * x1 + (a + 1) * b;

x3 - a * a * x1 = (a + 1) * b + 10001 * (-k);

x3 - a*a*x1已知，就转化成ax+by = c  /*扩展欧几里得，在中途再用②判定是否是整数解即可

 

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <map>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int mod =10001;
ll f[mod];

void gcd(ll a , ll b ,ll &d, ll &x,ll &y)
{
    if(!b)
    {
        d = a ;
        x = 1;
        y = 0;
        return ;
    }
    else
    {
        gcd(b , a % b ,d , y , x);
        y -= x * (a / b);
        return ;
    }
}

int main()
{
    int n;
    int t;
    scanf("%d",&t);
    memset(f,0,sizeof(f));
    for(int i = 1; i <= 2*t; i+=2)
        scanf("%I64d",&f[i]);
    for(int a = 0; a < 10001; a++)
    {
        ll k , b , d;
        ll c = (f[3] - a * a * f[1]);
        gcd(mod, a + 1, d , k, b);
        if(c % d)            //当ax+by = c时，g=gcd（a，b），当c是g倍数时一组解（x*c/g，y*c/g），否则无整数解
            continue;
        b = b*c/d;
        int flag;
        for(int i = 2; i <= 2*t; i++)
        {
            flag = 1;
            int tmp = (a*f[i-1]+b)%mod;
            if(i%2)
            {
                if(tmp != f[i])
                {
                    flag = 0;
                    break;
                }
            }
            else
                f[i] = tmp;
        }
        if(flag)
            break;
    }
    for(int i = 2; i <= 2*t; i+=2)
    {
        printf("%d\n",f[i]);
    }
    return 0;
}