P1306斐波那契公约数
- 对于斐波那契数，有以下性质：
- \((f_n,f_{n-1})=1\)
证明：
\[(f_n,f_{n-1})=(f_{n-1},f_n-f_{n-1})=(f_{n-1},f_{n-2})=(f_2,f_1)=1
\]
- $f_{m+n}=f_{m+1} f_{n} + f_{m} f_{n-1} $
证明（归纳法）：
\[首先，易得出m,n是等效的。
\]
\[设f_0=0,则对于m=n=1,f_{m+n}=f_{m+1} f_{n} + f_{m} f_{n-1}成立。
\]
\[设对于m,n\le k, f_{m+n}=f_{m+1} f_{n} + f_{m} f_{n-1}成立，则当n=k+1:
\]
\[f_{m+n}=f_{m+k+1}=f_{m+k}+f_{m+k-1}=f_{m+1}f_{k}+f_{m}f_{k-1}+f_{m+1}f_{k-1}+f_{m}f_{k-2}\\=f_{m+1}(f_{k}+f_{k-1})+f_{m}(f_{k-1}+f_{k-2})=f_{m+1}f_{k+1}+f_{m}f_{k}，结论同样成立。
\]
\[证毕。
\]
- \(f_m\) \(mod\) \(f_n\) \(=0当且仅当m\) $mod $ \(n=0\)
证明：
\(引理：an\equiv bn\ mod \ m,则a\equiv b\ mod \ \frac{m}{(m,n)}\)
\[斐波那契数列在模f_n意义下的序列s_n为1,1,\ldots,f_{n-1},0,f_{n-1},f_{n-1},\ldots,0,则对于s_k=0，\\有\{s_{k+1},\cdots ,s_{k+n}\}=\{s_{k-n+1}\cdot f_{n-1} \ mod\ f_n,\cdots,s_k\cdot f_{n-1} \ mod\ f_n\},\\即下一段序列相当于上一段序列在模意义下乘以f_{n-1}。\\又因为s_n=f_n \ mod \ f_n=0,所以s_{t\cdot n}=0.
\]
\[设x\cdot f_{n-1} \equiv 0\cdot f_{n-1} \ mod\ f_n,则由性质1与引理得x\equiv 0 \ mod\ (\frac{f_n}{(f_n,f_{n-1})}=f_n)，\\即s_k=0当且仅当f_k\ mod\ f_n=0
\]
\[由此可得出，f_m\ mod\ f_n=0当且仅当s_m=0,即m=t \cdot n.
\]
\[证毕。
\]
- $(f_m,f_n)=f_{(m,n)} $
证明：
\[(f_m,f_n)=(f_{(m-n)+n},f_n)=(f_{m-n+1}f_n+f_{m-n}f_{n-1},f_n)=(f_{m-n}f_{n-1},f_n)\\ \because (f_{n-1},f_n)=1 \\ \therefore (f_{m-n}f_{n-1},f_n)=(f_{m-n},f_n)=f_{(m,n)}
\]
\[证毕。
\]
- 利用性质4，我们把问题转化为求\(f_{(m,n)}\),由于\(m,n\le 1e9\),我们需要用矩阵快速幂加速递推。
-
\[ \left[ \begin{matrix} 1&1\\ 1&0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} f_n\\ f_{n-1} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} f_{n+1}\\ f_n \end{matrix} \right] \]
- 代码:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define re register int
#define rec(i,j,k) for(re (i)=(j);(i)<=(k);(i)++)
#define mem(s,k) memset(s,(k),sizeof s)
typedef long long LL;
const int maxX=2,maxY=2;
const LL mod=1e8;
int gcd(int x,int y)
{
return y?gcd(y,x%y):x;
}
LL tmp[maxX][maxY],A[maxX][maxY],B[maxX][maxY],ans[maxX][maxY];
#define cpy(A1,A2,n,m)\
{\
for(re i=0;i<n;i++)for(re j=0;j<m;j++)A2[i][j]=A1[i][j];\
}
#define mul(A1,A2,A3,n,m,q)\
{\
for(re i=0;i<n;i++)\
for(re j=0;j<q;j++)\
{\
tmp[i][j]=0;\
for(re k=0;k<m;k++)tmp[i][j]=(tmp[i][j]+A1[i][k]*A2[k][j])%mod;\
}\
cpy(tmp,A3,n,q);\
}
void fpow(int y)
{
while(y)
{
if(y&1)mul(ans,A,ans,2,2,2);
mul(A,A,A,2,2,2);
y>>=1;
}
}
int main()
{
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
ans[0][0]=ans[1][1]=1;
A[0][0]=A[0][1]=A[1][0]=1;
B[0][0]=B[1][0]=1;
fpow(gcd(n,m)-1);
mul(ans,B,B,2,2,1);
printf("%lld",B[1][0]);
return 0;
}
