IEEE754 学习总结
以下是参考《IEEE754 学习总结》并结合自己学习总结
一：前言
二：预备知识
三：浮点数的表示范围
四：将浮点格式转换成十进制数
一：前言
前不久在分析一个程序的过程中遇到了浮点运算，也就顺便学习了一下浮点数的存放格式（IEEE754标准），此文仅作为总结，其中举了几个典型的例子，如果你想深入了解IEEE754标准，我想本文并不太适合您。
二：预备知识
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值 存储为 指数偏移量（阶码） 尾数部分
real*4 1位符号位(s)、8位指数(e)，23位尾数(m,共32位) 127(7FH)
real*8 1位符号位(s)、11位指数(e)，52位尾数(m,共64位) 1023(3FFH)
real*10 1位符号位(s)、15位指数(e)，64位尾数(m,共80位) 16383(3FFFH)
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计算公式：
V=(-1)^s*2^E*M
当e（各位）为全'0'时，E=1-(2^(e（位数）-1)-1)，；M=m。
如：real*4是8位，E=1-(2^(8-1)-1)=1-127=-126
即，
在real*4时：
V=(-1)^s*2^(-126)*m
在real*8时：
V=(-1)^s*2^(-1022)*m
当e（各位）不为全'0'且不为全'1'时，E=e（值）-(2^(e（位数）-1)-1)；M=1+m。
即，
在real*4时：
V=(-1)^s*2^(e（值）-127)*(1+m)
在real*8时：
V=(-1)^s*2^(e（值）-1023)*(1+m)
三：浮点数的表示范围：
通常，可以用下面的格式来表示浮点数：
| S | P | M |
根据IEEE（美国电气和电子工程师学会）754标准中的定 义，单精度（Single Precision）浮点数是32位（即4字节）的，双精度（Double Precision）浮点数是64位（即8字节）的。两者的S、P、M所占的位数以及表示方法由下表可知：
| S | P | M | 表示公式 | 偏移量 | |
|
单精度浮点数 |
1（第31位） |
8（30到23位） |
23（22到0位） |
(-1)^S*2(P-127)*1.M |
127 |
|
双精度浮点数 |
1（第63位） |
11（62到52位） |
52（51到0位） |
(-1)^S*2(P-1023)*1.M |
1023 |
P是阶码，通常使用移码表示（移码和补码只有符号位相 反，其余都一样。对于正数而言，原码、反码和补码都一样；对于负数而言，补码就是其绝对值的原码全部取反，然后加1）。阶码可以为正数，也可以为负数，为 了处理负指数的情况，实际的指数值按要求需要加上一个偏差（Bias）值作为保存在指数域中的值，单精度数的偏差值为127，双精度数的偏差值为 1023。例如，单精度的实际指数值0在指数域中将保存为127，而保存在指数域中的64则表示实际的指数值-63，偏差的引入使得对于单精度数，实际可 以表达的指数值的范围就变成-127到128之间（包含两端）。
M为尾数，其中单精度数为23位长，双精度数为52位长。IEEE标准要求浮 点数必须是规范的。这意味着尾数的小数点左侧必须为1，因此在保存尾数的时候，可以省略小数点前面这个1，从而腾出一个二进制位来保存更多的尾数。这样实 际上用23位长的尾数域表达了24位的尾数。例如对于单精度数而言，二进制的1001.101（对应于十进制的9.625）可以表达为1.001101 × 23，所以实际保存在尾数域中的值为00110100000000000000000，即去掉小数点左侧的1，并用0在右侧补齐。
根据标准 要求，无法精确保存的值必须向最接近的可保存的值进行舍入，即不足一半则舍，一半以上（包括一半）则进。不过对于二进制浮点数而言，还多一条规矩，就是当 需要舍入的值刚好是一半时，不是简单地进，而是在前后两个等距接近的可保存的值中，取其中最后一位有效数字为零者。
据以上分析，IEEE 754标准中定义浮点数的表示范围为：
|
二进制（Binary） |
十进制（Decimal） |
|
|
单精度浮点数 |
± (2-2^-23) × 2127 |
~ ± 10^38.53 |
|
双精度浮点数 |
± (2-2^-52) × 21023 |
~ ± 10^308.25 |
1、浮点数的表示约定
单精度浮点数和双精度浮点数都是用IEEE 754标准定义的，其中有一些特殊约定，例如：
1、当P=0，M=0时，表示0。
2、当P=255，M=0时，表示无穷大，用符号位来确定是正无穷大还是负无穷大。
3、当P=255，M≠0时，表示NaN（Not a Number，不是一个数）。
2、非规范浮点数
当 两个绝对值极小的浮点数相减后，其差值的指数可能超出允许范围，最终只能近似为0。为了解决此类问题，IEEE标准中引入了非规范 （Denormalized）浮点数，规定当浮点数的指数为允许的最小指数值时，尾数不必是规范化（Normalized）的。有了非规范浮点数，去掉了 隐含的尾数位的制约，可以保存绝对值更小的浮点数。而且，由于不再受到隐含尾数域的制约，上述关于极小差值的问题也不存在了，因为所有可以保存的浮点数之 间的差值同样可以保存。
根据IEEE 754标准中的定义，规范和非规范浮点数的表示范围可归纳为下表：
|
规范浮点数 |
非规范浮点数 |
十进制近似范围 |
|
|
单精度浮点数 |
± 2^-149 至 (1-2^-23)*2^-126 |
± 2^-126 至 (2-2^-23)*2^127 |
± ~10^-44.85 至 ~10^38.53 |
|
双精度浮点数 |
± 2^-1074 至 (1-2^-52)*2^-1022 |
± 2^-1022 至 (2-2^-52)*2^1023 |
± ~10^-323.3 至 ~10^308.3 |
本文的结论基于IEEE 754标准，另外一个标准是IEEE 854，这个标准是关于十进制浮点数的，但没有规定具体格式，所以很少被采用。另外，从2000年开始，IEEE 754开始修订，被称为IEEE 754R，目的是融合IEEE 754和IEEE 854标准。该标准在浮点格式方面的修订有：1、加入了16位和128位的二进制浮点数格式；2、加入了十进制浮点数格式，采用了IBM公司提出的格式。
四：将浮点格式转换成十进制数
[例3.1]：
0x00280000（real*4）
转换成二进制
00000000001010000000000000000000
符号位 指数部分（8位） 尾数部分
0 00000000 01010000000000000000000
符号位=0；因指数部分=0，则：尾数部分M为m：
0.01010000000000000000000=0.3125
该浮点数的十进制为：
(-1)^0*2^(-126)*0.3125
=3.6734198463196484624023016788195e-39
[例3.2]：
0xC04E000000000000（real*8）
转换成二进制
1100000001001110000000000000000000000000000000000000000000000000
符号位 指数部分（11位） 尾数部分
1 10000000100 1110000000000000000000000000000000000000000000000000
符号位=1；指数=1028，因指数部分不为全'0'且不为全'1'，则：尾数部分M为1+m：
1.1110000000000000000000000000000000000000000000000000=1.875
该浮点数的十进制为：
(-1)^1*2^(1028-1023)*1.875
=-60
四：将十进制数转换成浮点格式（real*4）
[例4.1]：
26.0
十进制26.0转换成二进制
11010.0
规格化二进制数
1.10100*2^4
计算指数
4+127=131
符号位 指数部分 尾数部分
0 10000011 10100000000000000000000
以单精度（real*4）浮点格式存储该数
0100 0001 1101 0000 0000 0000 0000 0000
0x41D0 0000
[例4.2]：
0.75
十进制0.75转换成二进制
0.11
规格化二进制数
1.1*2^-1
计算指数
-1+127=126
符号位 指数部分 尾数部分
0 01111110 10000000000000000000000
以单精度（real*4）浮点格式存储该数
0011 1111 0100 0000 0000 0000 0000 0000
0x3F40 0000
[例4.3]：
-2.5
十进制-2.5转换成二进制
-10.1
规格化二进制数
-1.01*2^1
计算指数
1+127=128
符号位 指数部分 尾数部分
1 10000000 01000000000000000000000
以单精度（real*4）浮点格式存储该数
1100 0000 0010 0000 0000 0000 0000 0000
0xC020 0000
