出栈顺序（卡特兰数）

题目描述：

按照1,2,...,n-1,n的顺序入栈，问可以得到多少种出栈序列。如n=3时有1 2 3，1 3 2，2 1 3，2 3 1，3 2 1共5种出栈序列。

解题思路：

设f（n）为n个数时的方案数。

可知 f（0）=1； f（1）=1； f（2）=2；  f（3）=5；

当n=4时 ：

F1    F2    F3    F4

1　　2　　3　　4  //四种状态分别标记为F1，F2，F3，F4

若F1 位于一号位置 则之前的数字出栈顺序的情况数为F(0),在一号位置后的数字出栈顺序的情况数为f（3）;

则F1 位于一号位置时方案总数为f（0）*f（3）；

若F1 位于二号位置 则F1之前的位置的数字出栈顺序的情况数可知为f(1)，在二号位置之后的数字的出栈顺序为f（2）。

则F1位于二号位置时方案总数为f（1）*f（2）；

同理：F1位于三号位置时 方案数为 f（2）*f（1）；

　　　F1位于四号位置时 方案数为f（3）*f（0）；

由上述条件可以推出：

　　f（4）=f（0）*f（3）+f（1）*f（2）+f（2）*f（1）+f（3）*f（0）；

则当n未知时由以上结论可推：

　　f(n)=f(0)*f(n-1)+f(1)*f(n-2)+f(2)*f(n-3)......f(n-2)*f(1)+f(n-1)*f(0);

以上就是本题的一般递推式，我们会发现 这个式子的实际时间复杂度为O（n^2）;

当然不是很快，于是我们引入 卡特兰数；

所谓卡特兰数 就是 当递推式中出现 h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2) 时，

可知代数式的解为　　　　　　　　h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)；

它的另类递推式为   　　　　　　　h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);　　　　//本人数学弱渣 具体怎么推导请找百度君

 

于是乎我们的式子就化简为了 f（n）=f(n-1)*(4*n-2)/(n+1);// 优先级一定不要搞错 优先级害我找了好久bug