【纪中集训2019.3.26】获取名额

描述

描述：

有\(n\)场省选选拔赛，每场的前\(a_i\)名可以获得省选资格；

假设\(Moorhsum\)只参加第\([l,r]\)场比赛，且每一场排名在\([1,x]\)随机；

求他获得省选资格的概率；

范围：

$1 \le n , q \le 600000 \ , \ 1 \le x \le 10^9 \ , \ 1 \le l \le r \le n $;

数据保证对于任意\(i\)，\(a_i \lt x\);

当你的答案和标准答案的误差不超过\(10^{-6}\)是被认为是正确的；

\(512MB\);

题解

• 只需要统计$ \Pi_{i=l}^{r} (1-\frac{a_i}{x})$;

• $= exp(\sum_{i=l}^{r} \ ln(1-\frac{a_i}{x})) $;

• 由\(\frac{a_i}{x} \lt 1\)所以里面可以直接泰勒展开：

• $ = - \sum_{i=l}^{r} \sum_{j=1}^{\infty} \frac{a_i^j}{j \ x^j} \ = \ -\sum_{i=j}^{{\infty}\frac{1}{ix}i} \sum_{j=l}^{r} a_j^i $;

• 貌似只要\(\infty\)取\(50\)左右，预处理$\sum_{i=l}^{r} a_j^i $就可以了；

• 实测一下会发现范围和精度有很大问题；

• 范围问题直接考虑将\(x=/max(a_i),a_i/=max(a_i)\)就不会爆\(double\)了；

• 当\(a_i/x\)较大时，\(ln\)里面的东西会比较接近\(0\)，很难保证精度；

• 为\(a_i/x\)设置一个\(lim\)，当\(a_i/x>lim\)时直接算，再递归左右区间；

• \(lim\)取\(0.5\)是可以过的；

  #include<bits/stdc++.h>
  #define ld double
  #define il inline
  using namespace std;
  const int N=600010;
  int n,m,lg[N],f[N][21],bin[21];
  ld sum[N][51],a[N],X,tmp;
  il char gc(){
  	static char*p1,*p2,s[1000000];
  	if(p1==p2)p2=(p1=s)+fread(s,1,1000000,stdin);
  	return(p1==p2)?EOF:*p1++;
  }
  il int rd(){
  	int x=0;char c=gc();
  	while(c<'0'||c>'9')c=gc();
  	while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0',c=gc();
  	return x;
  }
  il int Max(int x,int y){return a[x]>a[y]?x:y;}
  il int ask(int x,int y){
  	int t=lg[y-x+1];
  	return Max(f[x][t],f[y-bin[t]+1][t]);
  }
  il ld cal(int l,int r){
  	ld re=0,t=1;
  	for(int i=1;i<=50;++i){
  		t*=X;re-=(sum[r][i]-sum[l-1][i])/(t*i);
  	}
  	return exp(re);
  }
  void solve(int l,int r){
  	int mid=ask(l,r);
  	if(a[mid]/X<0.5){tmp*=cal(l,r);return;}
  	tmp*=1-a[mid]/X;
  	if(l<mid)solve(l,mid-1);
  	if(mid<r)solve(mid+1,r);
  } 
  int main(){
  	freopen("orz.in","r",stdin);
  	freopen("orz.out","w",stdout);
  	n=rd();m=rd();ld mx=0;
  	for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=rd(),mx=max(a[i],mx);
  	for(int i=1;i<=n;++i)a[i]/=mx;
  	for(int i=bin[0]=1;i<=20;++i)bin[i]=bin[i-1]<<1;
  	lg[0]=-1;for(int i=1;i<=n;++i)f[i][0]=i,lg[i]=lg[i>>1]+1;
  	for(int i=1;i<=20;++i)
  	for(int j=1;j+bin[i]-1<=n;++j){
  		f[j][i]=Max(f[j][i-1],f[j+bin[i-1]][i-1]);
  	}
  	for(int i=1;i<=n;++i){
  		ld t=1;
  		for(int j=1;j<=50;++j){
  			t*=a[i];
  			sum[i][j]=sum[i-1][j]+t;
  		}
  	}
  	for(int i=1,l,r;i<=m;++i){
  		l=rd();r=rd();X=rd()/mx;
  		tmp=1;solve(l,r);
  		ld ans=1-tmp;
  		printf("%.10lf\n",ans); 
  	}
  	return 0;
  }