Codeforces 1017C The Phone Number
对于 \(1\) 到 \(n\) 的一个排列，用 \(\mathsf{LIS}\) 表示其最长上升子序列的长度，用 \(\mathsf{LDS}\) 表示其最长下降子序列的长度。输出一个使得 \(\mathsf{LIS} + \mathsf{LDS}\) 最小的排列。
分析
这道题是 CF Round 502 的 C 题。比赛时我毫无思路，过了 D 题之后，面对 C 束手无策，非常难受。下面来仔细说一说「如何思考这个问题」。
观察样例可以看出一种「使得 \(\mathsf{LIS} + \mathsf{LDS}\) 比较小」的排列模式（pattern）。
将 \(1\) 到 \(n\) 分成 \(k\) 组，每一组都单调递增，第 \(i\) 组的最小值大于第 \(i+1\) 组的最大值；比如 \(n= 9\)，7,8,9|4,5,6|1,2,3 就是一个满足上述条件的排列，8,9|5,6,7|1,2,3,4 也是。设第 \(i\) 组有 \(a_i\) 个数，则 \(\mathsf{LIS} = \max_{i =1}^{k} a_k\)，\(\mathsf{LDS} = k\) 。
当划分的组数 \(k\) 确定时，显然 \(\mathsf{LIS}\) 的最小值为 \(\lceil n/k \rceil\) 。于是问题化为 $\arg\limits_k\min k + \lceil n/k \rceil $ 。暴力枚举 \(k\) 即可。前已说明，这并不一定是最优解，只是一个上界。
题外话
对于任意正整数 \(n\) ，$k + \lceil n/k \rceil \(（\)k$ 是正整数）一定是在 \(k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor\) 处取到最小值吗？
试证明，对任意整数 \(n\) 有 $ n/ \lfloor \sqrt{n} \rfloor = \lceil \sqrt{n} \rceil $， $ n/ \lceil \sqrt{n} \rceil = \lfloor \sqrt{n} \rfloor $
自然的，现在我们要考虑的问题是
是否存在一个排列满足 $\mathsf{LIS} < \lceil \frac{n}{\mathsf{LDS}} \rceil $?
这个问题也可以表述为
是否存在一个排列满足 $\mathsf{LDS} < \lceil \frac{n}{\mathsf{LIS}} \rceil $?
因为将排列首尾翻转以后，\(\mathsf{LIS}\) 与 \(\mathsf{LDS}\) 就互换了。
如果我们能证明这样的排列不存在，那么就证明了上面求出的上界亦是下界。
我们将证明这样的排列确实不存在。
前置知识
-
偏序集（partially ordered set，poset）
-
链 （chain），反链（antichain）
Dilworth 定理
For any finite partially ordered set, there exists an antichain \(A\), and a partition of the order into a family \(P\) of chains, such that the number of chains in the partition equals the cardinality of \(A\).
Notes：定理中所谓「a partition of the order」即「a partition of the poset」。
若某条反链 \(A\) 与某个链划分 \(P\) 大小（cardinality）相等，必然有
- \(A\) 是偏序集中的一条最长反链。
- \(P\) 是偏序集的最小链划分。
证明：对于任意一个链划分 \(P\)，设 \(C\) 是其中的一条链，则 \(A\) 中至多有一个元素来自于链 \(C\) 。也就是说，对于任意反链 \(A\) 和任意链划分 \(P\)，有 \(|A| \le |P|\) 。
因此，Dilworth 定理也可表述为
任意有限偏序集的最长反链的长度，等于其最小链划分中链的个数。
Note：所谓「链/反链的长度」是指其中的元素个数。
Dilworth 定理与我们要证明的东西有什么联系呢？
我们可以从一个排列构造出一个偏序集：
设 \(a_1, a_2, \dots, a_n\) 是一个 \(1\) 到 \(n\) 的排列，在集合 \(S := \\{1, 2, \dots, n\\}\) 上定义偏序：\(i \prec j\) 当且仅当 \(i < j\) 且 \(a_i < a_j\)。于是偏序集 \(S\) 里的最长链的长度即 \(\mathsf{LIS}\)，最长反链的长度即 \(\mathsf{LDS}\)。对于 \(S\) 的任意链划分 \(P\)，有 \(\mathsf{LIS} \ge \text{「\)P$ 里的最长链的长度」} \ge \lceil \frac{n}{|P|} \rceil$，又因为存在链划分 \(P\) 使得 \(|P| = \text{「最长反链的长度」}\)，于是有 \(\mathsf{LIS} \ge \lceil \frac{n}{\mathsf{LDS}} \rceil\) 。
Erdős–Szekeres theorem
任给两正整数 \(r, s\)，任意长度为 $(r − 1)(s − 1) + 1 $，由互异的实数构成的序列或者包含一个长为 \(r\) 的单调递增序列，或者包含一个长为 \(s\) 的单调递减序列。
这个定理的表述真是拗口。
References
https://codeforces.com/blog/entry/61081?#comment-450158
