漫谈进位制：两步确定多项式的各项系数

数的表示与其采用的进制密不可分，利用这个性质无疑可以帮助你解决许多原本棘手的问题。

一、两步确定多项式的各项系数

黑匣子里有一个关于 \(x\) 的多项式 \(P(x)\) ，其项数未知，但各项的系数都是正整数。如果给黑匣子输入一个数 \(z\)，黑匣子将返回多项式 \(P(z)\) 的值。

试问：如何在两步之内还原出整个多项式？

1. 输入 \(1\) ，于是便得到整个多项式的所有系数之和。不妨把和记作 \(s\)；
2. 输入 \(s + 1\) ，于是黑匣子返回 \(a_n * (s + 1)^n + a_{n-1} * (s + 1)^{n-1} + … + a_1 * (s + 1) + a_0\)；
3. 把该值转换成 \(s + 1\) 进制，依次读出每一位上的数，它们就是多项式的各项系数了。

二、举一反三

上述示例其实也说明，学习知识不能墨守成规，应当融汇贯通。很多人学习二进制、八进制与十六进制的时候根本不会深入思考。其实有时从进制的角度去看待问题，也许能发现一个不同的世界。

1、多项式的乘法

譬如 \((x+a)(x+b)\) 可以看作 \(x\) 进制的乘法，也就是 \(1a \times 1b\) ，仿照十进制乘法的计算规则可以得到：

\begin{matrix}&&1&a \\ \times&&1&b\\\hline &&b\times 1&b\times a\\ +&1\times 1&1\times a&\\\hline &1&a+b&ab\end{matrix}

将上述 \(x\) 进制的结果 \(1\,\,\,(a+b)\,\,\,ab\) 转为 10 进制（按权重展开），即为 \(1\times x^2+(a+b)\times x^1+(ab)\times x^0\)。

2、整除

大家都知道一个数是否能被 2 整除只需要看它的个位能否被 2 整除即可，可是你想过为什么吗？这是因为 10 能被 2 整除。

而看一个数能否被 3 整除只需要看各位数之和是否能被 3 整除，这又是为什么呢？因为 \(10^n-1\) 总能被 3 整除。如：2345 可以写成 \(2 \times (999+1) + 3 \times (99+1) + 4 \times (9+1) + 5\)，展开就是 \(2 \times 999+3 \times 99+4 \times 9 + (2+3+4+5)\)。因此 2345 能否被 3 整除就只需要看 \((2+3+4+5)\) 能否被 3 整除了。

3、十六进制

最后举个有趣的“栗子”：你面前有 20 盏灯，每盏灯都处于亮、灭其中一种状态，请你在 1 分钟内记住所有灯的状态，请问你如何做到？

很简单，假设亮为 1，灭为 0，20 盏灯对应一个 20 位的二进制数，将其转化为 32 进制的数，仅有 4 位数，并且由于 \(2^5=32\)，32 进制的每一位数都对应 5 盏灯的状态。而这正式 16 进制诞生的重要原因之一。