算法设计与分析——多边形游戏（DP）
1、问题描述：
给定N个顶点的多边形，每个顶点标有一个整数，每条边上标有+(加)或是×(乘)号，并且N条边按照顺时针依次编号为1~N。下图给出了一个N＝4个顶点的多边形。
游戏规则 ：(1) 首先，移走一条边。
(2) 然后进行下面的操作： 选中一条边E，该边有两个相邻的顶点，不妨称为V1和V2。对V1和V2顶点所标的整数按照E上所标运算符号(+或是×)进行运算，得到一个整数；用该整数标注一个新顶点，该顶点代替V1和V2 。 持续进行此操作，直到最后没有边存在，即只剩下一个顶点。该顶点的整数称为此次游戏的得分(Score)。
2、问题分析：
解决该问题可用动态规划中的最优子结构性质来解。
设所给的多边形的顶点和边的顺时针序列为op[1],v[1],op[2],v[2],op[3],…,op[n],v[n] 其中，op[i]表示第i条边所对应的运算符，v[i]表示第i个顶点上的数值，i=1~n。
在所给的多边形中，从顶点i（1<=i<=n）开始，长度为j（链中有j个顶点）的顺时针链p(i,j）可表示为v[i],op[i+1],…,v[i+j-1]，如果这条链的最后一次合并运算在op[i+s]处发生（1<=s<=j-1），则可在op[i+s]处将链分割为两个子链p(i,s)和p(i+s,j-s)。
设m[i,j,0]是链p(i,j)合并的最小值，而m[i,j,1]是最大值。若最优合并在op[i+s]处将p(i,j)分为两个长度小于j的子链的最大值和最小值均已计算出。即：
a=m[i,s,0] b=m[i,s,1] c=m[i,s,0] d=m[i,s,1]
(1) 当op[i+s]=’+’时
m[i,j,0]=a+c ；m[i,j,1]=b+d
(2) 当op[i+s]=’*’时
m[i,j,0]=min{ac,ad,bc,bd} ； m[i,j,1]=max{ac,ad,bc,bd}
由于最优断开位置s有1<=s<=j-1的j-1中情况。 初始边界值为 m[i,1,0]=v[i] 1<=i<=n m[i,1,1]=v[i] 1<=i<=n
因为多变形式封闭的，在上面的计算中，当i+s>n时，顶点i+s实际编号为(i+s)modn。按上述递推式计算出的m[i,n,1]记为游戏首次删除第i条边后得到的最大得分。
代码如下：
1 //2015.5.2：——Anonymous 2 #include<string.h> 3 #include<stdio.h> 4 int v[101]; 5 int n; 6 char op[101]; 7 int minf,maxf; 8 int m[101][101][2]; 9 void minMax(int i,int s,int j) 10 { 11 int e[5]; 12 int a=m[i][s][0], 13 b=m[i][s][1], 14 r=(i+s-1)%n+1, 15 c=m[r][j-s][0], 16 d=m[r][j-s][1]; 17 if(op[r]=='t') 18 { 19 minf=a+c; 20 maxf=b+d; 21 } 22 else 23 { 24 e[1]=a*c; 25 e[2]=a*d; 26 e[3]=b*c; 27 e[4]=b*d; 28 minf=e[1]; 29 maxf=e[1]; 30 for(int k=2; k<5; k++) 31 { 32 if(minf>e[k]) 33 minf=e[k]; 34 if(maxf<e[k]) 35 maxf=e[k]; 36 } 37 } 38 } 39 int main() 40 { 41 memset(m,0,sizeof(m)); 42 scanf("%d",&n); 43 getchar(); 44 for(int i=1; i<=n; i++) 45 { 46 scanf("%c",&op[i]); 47 scanf("%d",&v[i]); 48 m[i][1][0]=v[i]; 49 m[i][1][1]=v[i]; 50 getchar(); 51 } 52 for(int j=2; j<=n; j++)//链的长度 53 for(int i=1; i<=n; i++)//删掉第i条边 54 for(int s=1; s<j; s++)//断开的位置 55 { 56 minMax(i,s,j); 57 if(m[i][j][0]>minf) 58 m[i][j][0]=minf; 59 if(m[i][j][1]<maxf) 60 m[i][j][1]=maxf; 61 } 62 int temp=m[1][n][1]; 63 for(int i=2; i<=n; i++) 64 { 65 if(temp<m[i][n][1]) 66 temp=m[i][n][1]; 67 } 68 printf("%d\n",temp); 69 return 0; 70 }
测试数据：
输入：
4 t -7 t 4 x 2 x 5 输出：
33
计算复杂性分析：
与凸多边形最有三角剖分问题类似，上述算法需要O（n3）计算时间。
