dp 杂题

T1：消失之物

题干：

　　$ftiasch$ 有 $N$ 个物品, 体积分别是 $W_1, W_2, ..., W_N$。 由于她的疏忽, 第 $i$ 个物品丢失了。 “要使用剩下的 $N - 1$ 物品装满容积为 $x$ 的背包，有几种方法呢？” -- 这是经典的问题了。

　　她把答案记为 $Count(i, x)$ ，想要得到所有 $1 <= i <= N$, $1 <= x <= M$ 的 $Count(i, x)$ 表格。　

　　输入格式：

　　第 $1$ 行：两个整数 $N$ $(1 ≤ N ≤ 2 × 10^3)$ 和 $M$ $(1 ≤ M ≤ 2 × 10^3)$，物品的数量和最大的容积。

　　第 $2$ 行： $N$ 个整数 $W_1, W_2, ..., W_N$ , 物品的体积。

　　输出格式： 一个 $N × M$ 的矩阵， $Count(i, x)$ 的末位数字

题解：

　　这道题只需输出个位，有点新奇，但是对算法没什么要求或限制。。。

　　比较显然就可以得到到一个 $\Theta(n^2x)$ 的一个暴力，就是枚举不要哪一个，再跑一个背包，显然会 $TLE$

　　正解还是比较难想的。我们其实可以先跑一遍背包（时间复杂度 $\Theta(nm)$）,接着想一下怎么更新答案。

　　题干中要求我们输出的是不选某个物品后装满一个背包的方案数。我们基本上都能想到：先算完所有都可以选的情况，再减去选了某个物品的情况就是答案。我们可以用容斥解决（合法的减去不合法的）。

　　如果 $j<n$ ， 则 $g[i][j]=f[n][j]$；

　　如果 $j>=n$ ，则 $g[i][j]=f[n][j]-g[i][j-w[i]]$。

　　我们可以省去第一维：

$\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=v[i]}^{x} g[j] = g[j]-g[j-v[i]]$

　　（$g[i]$ 表示容积为 $i$ 时的方案数，它的初值继承的是所有物品都可以选的情况数；$v[i]$ 为体积）

　　为什么我们直接减就可以呢？这需要我们想一下背包 $dp$ 的原理：背包 $dp$ 其实相当于不考虑不合法的情况，直接转移，只是在统计答案时将不合法的与不是最优解的情况舍去罢了。这道题的单步容斥就基于此——我们可以用所有情况减去由 $v[i]$ 转移过来的情况就是答案，不需考虑多减或少减的情况，因为这是 $01$ 背包，一个只会算一次贡献，一定不重不漏。

　　（其实就是全集减去补集）

　　（注意在更新答案时注意顺序，不要用同级答案相互转移——背包通病）

　　（在预防同级答案相互转移时并不一定倒序枚举）

Code：

 

T2：方伯伯的玉米田

题干：

　　方伯伯在自己的农田边散步，他突然发现田里的一排玉米非常的不美。

　　这排玉米一共有 $N$ 株，它们的高度参差不齐。

　　方伯伯认为单调不下降序列很美，所以他决定先把一些玉米拔高，再把破坏美感的玉米拔除掉，使得剩下的玉米的高度构成一个单调不下降序列。

　　方伯伯可以选择一个区间，把这个区间的玉米全部拔高 $1$ 单位高度，他可以进行最多 $K$ 次这样的操作。拔玉米则可以随意选择一个集合的玉米拔掉。

　　问能最多剩多少株玉米，来构成一排美丽的玉米。

　　输入格式：

　　第 $1$ 行包含 $2$ 个整数 $n$，$K$，分别表示这排玉米的数目以及最多可进行多少次操作。

　　第 $2$ 行包含n个整数，第 $i$ 个数表示这排玉米，从左到右第 $i$ 株玉米的高度 $a_i$。

　　输出格式：输出 $1$ 个整数，最多剩下的玉米数。

题解：

　　这道题有一个小贪心：若在 $x$ 号节点使用操作，让 $n$ 号节点作为右端点一定不劣。

　　（若右端点不在 $n$ 节点处，而在 $y$ 节点处，那么 y 节点以后的节点相对于拔高的那部分来说是有下降趋势的）

　　这道题一开始只能想到 $\Theta(n^2k^2)$ 的暴力，交上去才发现一个小测试点也没有。。。

　　在 $\Theta(n^2k^2)$ 的暴力中，有一个十分显然的 $dp$ 式：（边转移边更新答案）

$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=0}^{k}dp[i][j]=\sum\limits_{l=1}^{i-1}\sum\limits_{r=0}^{j}\max(dp[l][r])+1$

　　（$dp[i][j]$ 表示：转移到第 $i$ 株玉米时、用了 $j$ 次拔高操作后的最长不下降序列的长度）

　　我们发现在等式右侧，我们找的是一个矩阵的最大值，可以想到用二维树状数组来维护。

　　（其实 $dp$ 转移方程也可以定义为：转移到第 $i$ 株玉米时、最高高度为 $j$ 的最长不下降序列的长度。但是在实现过程中，$dp[10000][5500] + bit[10000][5500]$ 的数组并不能开下。。。所以用第一种状态——亲测有效）

　　还有一种 $dp[i][j]$ 转移的定义：用了用了 $i$ 次拔高操作、最大高度为 $j$ 的方案数也可以，实际上就是要保证 $k$ 这一维的存在，当成一个背包来做，其余两维随便一个用树状数组维护一下即可（都是有序的）

Code：

 

T3：拦截导弹

题干：

　　某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度、并且能够拦截任意速度的导弹，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度，其拦截的导弹的飞行速度也不能大于前一发。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。

　　在不能拦截所有的导弹的情况下，我们当然要选择使国家损失最小、也就是拦截导弹的数量最多的方案。但是拦截导弹数量的最多的方案有可能有多个，如果有多个最优方案，那么我们会随机选取一个作为最终的拦截导弹行动蓝图。

　　我方间谍已经获取了所有敌军导弹的高度和速度，你的任务是计算出在执行上述决策时，每枚导弹被拦截掉的概率。

　　输入格式：

　　第一行包含一个正整数 $n$，表示敌军导弹数量；

　　下面 $n$ 行按顺序给出了敌军所有导弹信息：

　　第 $i+1$ 行包含 $2$ 个正整数 $h_i$ 和 $v_i$ ，分别表示第 $i$ 枚导弹的高度和速度。

　　输出格式：

　　第一行为一个正整数，表示最多能拦截掉的导弹数量；

　　第二行包含 $n$ 个 $0$ 到 $1$ 之间的实数，第 $i$ 个数字表示第 $i$ 枚导弹被拦截掉的概率（你可以保留任意多位有效数字）。

题解：

　　一道 $CDQ$ 优化 $dp$ 的题。

　　三维偏序分别为：$j<i$、$h[j]>=h[i]$、$v[j]>=v[i]$（其中有两维并不是 $>$ 或 $<$，注意一下 $sort$ 时的处理，$sort$ 中尽量不要出现 $>=$ 或 $<=$）

　　题干中要求输出概率，我们就得记录出它的方案数；又是每一个点的概率，那我们就需要 $dp$ 转移一下：

　　$f[0][i]$ 数组表示长度为 $i$ 的最长不下降序列长度（以 $1$ 为起点）， $f[1][i]$ 数组表示长度为 $i$ 的最长不下降序列长度（ $n$ 为起点 ）（倒过来），

　　$g[0][i]$ 数组表示长度为 $i$ 的最长不下降序列长度的方案数，$g[1][i]$ 数组表示长度为 $i$ 的最长不下降序列长度的方案数。

　　一开始 $CDQ$ 时我们就先以权值优先排序，转移后在用时间排好序

　　（注意在 $CDQ$ 优化 $dp$ 中，归并排序并不适用）

Code：

 

T4：最佳团体

题干：

　　$JSOI$ 信息学代表队一共有 $m$ 名候选人，这些候选人从 $1$ 到 $n$ 编号。方便起见，$JYY$ 的编号是 $0$ 号。每个候选人都由一位编号比他小的候选人 $R_i$ 推荐。 如果$R_i==0$，则说明这个候选人是 $JYY$ 自己看上的。

　　为了保证团队的和谐，$JYY$ 需要保证，如果招募了候选人 $i$ ，那么候选人 $R_i$ 也一定需要在团队中。当然了，$JYY$ 自己总是在团队里的。每一个候选人都有一个战斗值 $P_i$，也有一个招募费用 $S_i$ 。$JYY$ 希望招募 $k$ 个候选人（$JYY$ 自己不算），组成一个性价比最高的团队。也就是，这 $k$ 个被 $JYY$ 选择的候选人的总战斗值与总招募费用的比值最大。

　　输入格式：输入一行包含两个正整数 $k$ 和 $n$。接下来 $n$ 行，其中第 $i$ 行包含三个整数 $S_i$、$P_i$、$R_i$表示候选人 $i$ 的招募费用，战斗值和推荐人编号。

　　输出格式：输出一行一个实数，表示最佳比值。答案保留三位小数。

题解：

　　这道题要求输出最佳比值，不由想到了 $0/1$ 分数规划，我们先把式子列出来：

$ans=\frac{\sum\limits_{i=1}^n P_i*x_i}{\sum\limits_{i=1}^n S_i*x_i}$

　　（$x_i$ 表示是否选 $i$ 这个人）（$x_i$ 为 $0$ 或 $1$）

　　我们可以移下项：

$\sum\limits_{i=1}^n (P_i-ans*S_i)*x_i=0$

　　我们就可以发现，若左式不为负，那就是说 ans 满足这个式子；否则就不满足。（这符合决策单调性——二分答案）

　　用树归搞一搞就可以了：

$dp[x][i+j]=\max(dp[x][i+j],dp[x][i]+dp[to][j])+P_i-ans*S_i$

　　时间复杂度 $\Theta(n^2log_2ans)$

Code：

 

T1：

题干：

 

题解：

 

Code：

 

 

T1：

题干：

 

题解：

 

Code：