NOIP2016 天天爱跑步（树上差分）
题干：
《天天爱跑步》游戏的地图可以看作一棵包含 n 个结点和 n−1 条边的树，每条边连接两个结点，且任意两个结点存在一条路径互相可达。树上结点编号为从 1 到 n 的连续正整数。现在有 m 个玩家，第 i 个玩家的起点为 Si ，终点为 Ti。每天打卡任务开始时，所有玩家在第 0 秒同时从自己的起点出发，以每秒跑一条边的速度，不间断地沿着最短路径向着自己的终点跑去，跑到终点后该玩家就算完成了打卡任务。（由于地图是一棵树，所以每个人的路径是唯一的）小 C 想知道游戏的活跃度，所以在每个结点上都放置了一个观察员。在结点 j 的观察员会选择在第 Wj 秒观察玩家，一个玩家能被这个观察员观察到当且仅当该玩家在第 Wj 秒也正好到达了结点 j。小 C 想知道每个观察员会观察到多少人？
注意：我们认为一个玩家到达自己的终点后该玩家就会结束游戏，他不能等待一段时间后再被观察员观察到。即对于把结点 j 作为终点的玩家：若他在第 Wj 秒前到达终点，则在结点 j 的观察员不能观察到该玩家；若他正好在第 Wj 秒到达终点，则在结点 j 的观察员可以观察到这个玩家。
题解：
每个玩家的跑步路线可视为树上的一条链，可以拆成两段，一段从 s 到 lca(s,t) ，另一段从 lca(s,t) 到 t。其实，要想侦查员可以看到玩家，也就只有两种情况：
1、当侦查员出现在 s～lca(s,t) 之间的 x 节点处时，只有满足玩家从s跑到x的时间d[s]-d[x]等于观察员出现的时间w[x]时才可以。（即d[s]-d[x]=w[x]）
2、当侦查员出现在 lca(s,t)～t 之间的 x 节点处时，只有满足玩家从s跑到x的时间d[s]+d[x]-2*d[lca(s,t)] 等于观察员出现的时间w[x]时才可以。（即d[s]+d[x]-2*d[lca(s,t)]=w[x]）。
又因为两个条件都包含对 x 所在路径的限制却互不重叠影响，可以分开求每个满足条件的玩家再相加。
我们将关于i的变量放在一侧，关于x的变量放在另一侧，就有：
d[s]=d[x]+w[x] d[s]-2*d[lca(s,t)]=w[x]-d[x]
也就是说，本题可转化为：
有m个玩家，每个玩家i给si～lca(si,ti) 的路径上的每个点加一个价值为 d[si] 的物品，
求在每个点 x 处价值为 d[x]+w[x] 的物品的数量
（第一个情况）
有m个玩家，每个玩家i给lca(si,ti)～ti 的路径上的每个点加一个价值为 d[si]-2*d[lca(si,ti)] 的物品，
求在每个点 x 处价值为w[x]-d[x] 的物品的数量
（第二个情况）
树上的区间加？那就用树上差分就可以了，用动态开点的权值线段树来维护。
注意权值线段树的左右范围应是 -n-5～n+5 ，要留有余地，毕竟有 d[si]-2*d[lca(si,ti)] 这种极有可能是负数的物品。
像作者就没有开几个数组来存哪几个数出现了几次，而是将其分为两种情况，分别来维护。
Code：
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<queue> 4 #define $ 300000 5 #define getchar() ((S==T&&(T=(S=buffer)+fread(buffer,1,L,stdin),S==T))?EOF:*S++) 6 using namespace std; 7 const int L=1<<20|1; 8 char buffer[L],*S,*T; 9 inline int read(){ 10 char a=getchar(); 11 int sum=0; 12 while(a<'0'||a>'9') a=getchar(); 13 while(a>='0'&&a<='9') sum=(sum<<1)+(sum<<3)+a-'0',a=getchar(); 14 return sum; 15 } 16 inline void swap(int &x,int &y){ int t=y; y=x; x=t; } 17 int m,n,w[$],first[$],tot,l[$],r[$],ls[$],rs[$],dep[$],dad[$][22],shu,sum[$],self[$]; 18 int ans[$],root[$],add; 19 struct node{ int to,next; }a[$*2]; 20 struct trie{ int ls,rs,sum1,sum2; }tree[$*20]; 21 inline void aadd(int x,int y){ 22 a[++tot]=(node){ y,first[x] }; 23 first[x]=tot; 24 a[++tot]=(node){ x,first[y] }; 25 first[y]=tot; 26 } 27 inline void pushup(int x){ 28 int l=tree[x].ls,r=tree[x].rs; 29 tree[x].sum1=tree[l].sum1+tree[r].sum1; 30 tree[x].sum2=tree[l].sum2+tree[r].sum2; 31 } 32 inline void insert(int &x,int opt,int l,int r,int val,int derta){ 33 if(!x) x=++shu; 34 if(l==r){ 35 if(!opt) tree[x].sum1+=derta; 36 else tree[x].sum2+=derta; 37 return; 38 } 39 int mid=(l+r)>>1; 40 if(val<=mid) insert(tree[x].ls,opt,l,mid,val,derta); 41 else insert(tree[x].rs,opt,mid+1,r,val,derta); 42 pushup(x); 43 } 44 inline int merge(int x,int y,int l,int r){ 45 if(!x||!y) return x+y; 46 if(l==r){ 47 tree[x].sum1+=tree[y].sum1; 48 tree[x].sum2+=tree[y].sum2; 49 return x; 50 } 51 int mid=(l+r)>>1; 52 tree[x].ls=merge(tree[x].ls,tree[y].ls,l,mid); 53 tree[x].rs=merge(tree[x].rs,tree[y].rs,mid+1,r); 54 pushup(x); 55 return x; 56 } 57 inline int query(int x,int opt,int l,int r,int val){ 58 if(l==r){ 59 if(!opt) return tree[x].sum1; 60 else return tree[x].sum2; 61 } 62 int mid=(l+r)>>1; 63 if(val<=mid) return query(tree[x].ls,opt,l,mid,val); 64 else return query(tree[x].rs,opt,mid+1,r,val); 65 } 66 inline void bfs(){ 67 queue<int> q; 68 q.push(1); dep[1]=1; 69 while(q.size()){ 70 int x=q.front(); q.pop(); 71 for(register int i=first[x];i;i=a[i].next){ 72 int to=a[i].to; 73 if(dep[to]) continue; 74 dep[to]=dep[x]+1; 75 dad[to][0]=x; 76 for(register int j=1;j<=20;++j) dad[to][j]=dad[dad[to][j-1]][j-1]; 77 q.push(to); 78 } 79 } 80 } 81 inline void dfs(int x){ 82 for(register int i=first[x];i;i=a[i].next){ 83 int to=a[i].to; 84 if(to==dad[x][0]) continue; 85 dfs(to); 86 root[x]=merge(root[x],root[to],-add,add); 87 } 88 ans[x]=query(root[x],0,-add,add,w[x]+dep[x]) 89 +query(root[x],1,-add,add,w[x]-dep[x]); 90 } 91 inline int LCA(int x,int y){ 92 if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y); 93 for(register int i=20;i>=0;--i) 94 if(dep[dad[x][i]]>=dep[y]) x=dad[x][i]; 95 if(x==y) return x; 96 for(register int i=20;i>=0;--i) 97 if(dad[x][i]!=dad[y][i]) x=dad[x][i], y=dad[y][i]; 98 return dad[x][0]; 99 } 100 signed main(){ 101 scanf("%d%d",&n,&m); add=n+5; 102 for(register int i=1,x,y;i<n;++i) scanf("%d%d",&x,&y), aadd(x,y); 103 for(register int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&w[i]); bfs(); 104 for(register int i=1,x,y,lca;i<=m;++i){ 105 scanf("%d%d",&x,&y); 106 lca=LCA(x,y); 107 insert(root[x],0,-add,add,dep[x],1); 108 insert(root[dad[lca][0]],0,-add,add,dep[x],-1); 109 insert(root[y],1,-add,add,dep[x]-2*dep[lca],1); 110 insert(root[lca],1,-add,add,dep[x]-2*dep[lca],-1); 111 } 112 dfs(1); 113 for(register int i=1;i<=n;++i) printf("%d ",ans[i]); 114 }
附《雨天的尾巴》Code：（数组版）
1 #include<cstdio> 2 #include<cmath> 3 #include<cstring> 4 #include<queue> 5 #include<algorithm> 6 #define $ 5000010 7 using namespace std; 8 int sum[$],self[$],ls[$],rs[$],root[$],dad[$][30],dadsiz,tot,first[$],siz; 9 int dep[$],ans[$],m,n,gai[$]; 10 struct tree{ int to,next; }a[$*2]; 11 struct query{ int x,y,z; }qu[$]; 12 inline void swap(int &x,int &y){ int t=x; x=y; y=t; } 13 inline void add(int x,int y){ 14 a[++tot].to=y; 15 a[tot].next=first[x]; 16 first[x]=tot; 17 a[++tot].to=x; 18 a[tot].next=first[y]; 19 first[y]=tot; 20 } 21 inline void bfs(int x){ 22 queue<int> q; 23 q.push(x); dep[x]=1; 24 while(q.size()){ 25 int xx=q.front(); q.pop(); 26 for(register int i=first[xx];i;i=a[i].next){ 27 int to=a[i].to; 28 if(dep[to]) continue; 29 dep[to]=dep[xx]+1; 30 dad[to][0]=xx; 31 for(register int j=1;j<=dadsiz;++j) 32 dad[to][j]=dad[dad[to][j-1]][j-1]; 33 q.push(to); 34 } 35 } 36 } 37 inline void pushup(int x){ 38 bool judge=sum[ls[x]]>=sum[rs[x]]; 39 sum[x]=judge?sum[ls[x]]:sum[rs[x]]; 40 self[x]=judge?self[ls[x]]:self[rs[x]]; 41 } 42 inline void insert(int &rot,int l,int r,int val,int derta){ 43 if(!rot) rot=++tot; 44 if(l==r){ sum[rot]+=derta; self[rot]=l; return; } 45 int mid=(l+r)>>1; 46 if(val<=mid) insert(ls[rot],l,mid,val,derta); 47 else insert(rs[rot],mid+1,r,val,derta); 48 pushup(rot); 49 } 50 inline int merge(int x,int y,int l,int r){ 51 if(!x||!y) return x+y; 52 if(l==r){ sum[x]+=sum[y]; return x; } 53 int mid=(l+r)>>1; 54 ls[x]=merge(ls[x],ls[y],l,mid); 55 rs[x]=merge(rs[x],rs[y],mid+1,r); 56 pushup(x); return x; 57 } 58 inline void dfs(int x){ 59 for(register int i=first[x];i;i=a[i].next){ 60 int to=a[i].to; 61 if(to==dad[x][0]) continue; 62 dfs(to); 63 root[x]=merge(root[x],root[to],1,siz); 64 } 65 ans[x]=self[root[x]]; 66 } 67 inline int LCA(int x,int y){ 68 if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y); 69 for(register int i=dadsiz;i>=0;--i){ 70 if(dep[dad[y][i]]>=dep[x]) y=dad[y][i]; 71 } 72 if(x==y) return x; 73 for(register int i=dadsiz;i>=0;--i){ 74 if(dad[x][i]!=dad[y][i]) x=dad[x][i],y=dad[y][i]; 75 } 76 return dad[x][0]; 77 } 78 signed main(){ 79 scanf("%d%d",&n,&m); dadsiz=log2(n); 80 for(register int i=1,x,y;i<n;++i){ 81 scanf("%d%d",&x,&y),add(x,y); 82 } 83 tot=0; bfs(1); 84 for(register int i=1;i<=m;++i){ 85 scanf("%d%d%d",&qu[i].x,&qu[i].y,&qu[i].z); 86 gai[i]=qu[i].z; 87 } 88 sort(gai+1,gai+m+1); 89 siz=unique(gai+1,gai+m+1)-gai-1; 90 for(register int i=1;i<=m;++i){ 91 int val=lower_bound(gai+1,gai+siz+1,qu[i].z)-gai; 92 int lca=LCA(qu[i].x,qu[i].y); 93 insert(root[qu[i].x],1,siz,val,1); 94 insert(root[qu[i].y],1,siz,val,1); 95 insert(root[lca],1,siz,val,-1); 96 insert(root[dad[lca][0]],1,siz,val,-1); 97 } 98 dfs(1); 99 for(register int i=1;i<=n;++i) printf("%d\n",gai[ans[i]]); 100 }
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