算法导论5.3-3

转自风清云淡的博客，他给出的解法非常的妙。

问题：

描述RANDOM(a,b)的过程的一种实现，它只调用RANDOM(0,1)。作为a和b的函数，你的程序的期望运行时间是多少？
注：RANDOM(0,1)以等概率输出0或者1，
      要求RANDOM(a,b)以等概率输出[a,b]之间的数(整数)

 

解决方案：

         1，取 n=b-a+1，取最小的正整数m，使得 2^m >= n
         2，调用RANDOM(0,1)，输出m-bit位整数N   (  N >= 0 and N <= 2^m-1)
         3，  if   N >=0  and N <= b-a
                      then return a+N     
                else 重新执行步骤 2
 
[a,b]之间每个数都是以 1/2^m 的概率输出的  

渐进运行时间分析：

我觉得渐进时间分析应该用概率分析的方法，我觉得是服从几何分布：
     假设进行一系列伯努利试验，每次成功的概率是p，失败的概率是q=1-p，在取得一次成功前一共要进行多少次试验？令随机变量X为取得一次成功所要进行的试验次数，则X的取值范围{1,2,......}。对k>=1，因为在一次成功前有k-1次失败，从而有
                                               Pr[X=k]= q^(k-1)p
满足上式的分布称为几何分布     [见算法导论 P686]
在算法中 p=(b-a+1)/2^m   
期望运行次数(算法中生成m位序列的调用次数)为：  E[X]=sum(k*q^(k-1)p) [k=1......+无穷]=1/p=2^m/(b-a+1)
用T表示调用一次RANDOM(0,1)所需要的时间，每次运行时间为输出m位bit的时间：O(log(b-a) × T)
期望运行时间：O（T × log(b-a) × 2^m/(b-a+1) ）=(约等于)O(T × log(b-a))  (因为m=(约等于)log(b-a+1))