洛谷P1147 连续自然数和
这道题啊挺有意思的~
解法1
首先最容易想到的肯定是暴力啦~枚举1->N/2，然后第二层循环枚举接下来的数字，sum累加，如果等于就输出，如果大于就退出（超出范围），如果小于继续循环。
//暴力
#include<cstdio>
using namespace std;
int main(){
int N;
int sum = 0;
scanf("%d",&N);
for(register int i=1;i<=N/2;i++){
sum = 0;
int book;
for(register int j=i;j<=N/2+1;j++){
book=j;
sum+=j;
if(sum>=N)break;
}
if(sum==N)printf("%d %d\n",i,book);
}
return 0;
}
时间复杂度为O(N^2)
解法2
接下来可以推公式啦！！
神犇高斯在小时候快速计算出1+2+3+4+...+99+100的答案；
解法是（其实不一样啊……但是差不多了……同一个思想）:
1+99=100
2+98=100
3+97=100
..
49+51=100
也就是说，以50为中点，左边的1-49分别对应右边的51-99
一共49对和为100的搭配，49100 = 4900
再加上中点50和100，结果为5050
（其实高斯是 (1+100)=101，50101=5050）
则可以归纳为
左起点l，右起点r
又m=[(l+r)/2]，此时要向下取整
但是真正计算时存在小数 所以m=(l+r-1)/2
SUM.1 = (l+r-1)(m-l)+m+r
把l=1和r=100代入进行计算试试
然后开始化简
也就是
SUM.1 = (l+r-1) [ (l+r-1)/2 - l ] + (l+r-1)/2 + r
2*SUM.1 = (l+r-1) (r-l-1) l+r-1 + 2r
2*SUM.1 = (l+r-1)(r-l) + 2r
2*SUM.1 = r(r+1)-l(l-1)
但是如果m=(l+r)/2这一步不需要向下取整呢？
如1-99 中点为50，而且49*100完后只加了50，而并不是像上面一样加了r
所以需要再列一个情况
当m=(l+r)/2 时，m为整数
SUM.2 = (l+r) [ (l+r)/2 - l ] + (l+r)/2
所以
(l+r)(l+r-2l)+l+r=2*SUM.2
(l+r)(r-l+1) = 2*SUM.2
r(r+1)-l(l-1) = 2*SUM.2
诶诶算到这里你发现跟上面的式子完全一样啊！！！
那就方便很多了
不需要分类讨论了~~~
推导至此，结合题目，我们已知N，也就是推导过程中的SUM，也就可以算出2*SUM，就是2N
现在，我们只需要从小到大枚举l，不就可以从小到大算出每一组的r，然后输出了吗！！！
r(r+1)-l(l-1)=2N
r(r+1)=2N+l(l-1)
所以我们依次枚举l，然后使用二分去寻找r，判断寻找出的数是否满足以上等式即可
#include<cstdio>
using namespace std;
int N;
inline int bound(int l,long long x){
int r=N/2+1;
while(l<r){
long long mid = (l+r)>>1;
long long num = mid*(mid+1);
if(num==x)return mid;
else if(num>x)r=mid-1;
else l=mid+1;
}
if((long long)l*(l+1)==x)return l;
return -1;
}
int main(){
scanf("%d",&N);
for(register int i=1;i<=N/2;i++){
long long ard = (long long)i*(i-1)+2*N;
int r = bound(i+1,ard);
if(r!=-1)printf("%d %d\n",i,r);
}
return 0;
}
时间复杂度应为O(NlogN)
哇感觉好快啊！！是不是可以AC了！！
当然可以啊！！！
但是
你会发现这个算法用了96ms，而暴力只用了26ms！！！！
岂不是白白优化了！！！！
那问题出在哪了！
其实O(N^2)的这个算法常数较小啊……随着循环变量i的增加，后面每次第二层循环的次数会越来越小，与真正的平方相差甚远。
而O(NlogN)这个算法，不仅枚举了N次，而且每次的二分都会增加次数，实打实的NlogN
但是你会发现啊……我们为什么要二分啊……为什么不能直接算啊！！！！
解法3
r(r+1)=2N+l(l-1)
使得2N+l(l-1)为X
r(r+1)=X
你会发现X是已知的！！！！而且啊！左边的两个乘数只相差1！！非常近
啊
啊
啊
那我们岂不是可以直接sqrt(X)就可以求出r了吗……向下取整一波，然后乘以(自己+1),看看是不是会等于X不就ok了
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int N;
int main(){
scanf("%d",&N);
for(register int i=1;i<=N/2;i++){
long long ard = (long long)i*(i-1)+2*N;
long long r = floor( sqrt(ard) );//floor()向下取整 sqrt()开方
if((long long)r*(r+1)==ard)
printf("%d %lld\n",i,r);
}
return 0;
}
时间复杂度O(N)
洛谷时间8ms
哇好快啊！！
但是还有更快的！！
解法4
——此解法是学习题解的……
我们先看看上面的一个推导
但是如果m=(l+r)/2这一步不需要向下取整呢？
如1-99 中点为50，而且49*100完后只加了50，而并不是像上面一样加了r
所以需要再列一个情况
当m=(l+r)/2 时，m为整数
SUM.2 = (l+r) [ (l+r)/2 - l ] + (l+r)/2
所以
(l+r)(l+r-2l)+l+r=2*SUM.2
(l+r)(r-l+1) = 2*SUM.2
r(r+1)-l(l-1) = 2*SUM.2
再看其中的
(l+r)(l+r-2l)+l+r=2*SUM.2
(l+r)(r-l+1) = 2*SUM.2
r(r+1)-l(l-1) = 2*SUM.2
再看
(l+r)(r-l+1) = 2*SUM.2
转化成符合题意的
(l+r)(r-l+1) = 2*N
使得(l+r)为a,(r-l+1)为b
则有ab=2N
显而易见
l = (a-b+1) / 2
r = (a+b-1) / 2
那我们是不是只需要枚举a，就可以算出b，然后算出l和r……
判断l和r是否满足(l+r)(r-l+1) = 2*N
如果满足就得到一个解！
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int N;
int main(){
scanf("%d",&N);
int size =floor( sqrt( N<<1 ) );
for(register int i=size;i>1;i--){
int a = i;
int b = (N<<1)/a;
if(a<b){
int t = a;
a = b;
b = t;
}
if(a*b!=(N<<1))continue;
int l = (a-b+1) >> 1;
int r = (a+b-1) >> 1;
if((long long)r*(r+1)-(long long)l*(l-1)==N<<1)
printf("%d %d\n",l,r);
}
return 0;
}
时间复杂度为O(sqrt(N))
洛谷运行时间0ms
总结
从暴力循环到数学求解的过程令人收获满满~~~
然后做完题之后及时向别人学习更优解!!
反思自己为什么没有想到呢！
由于自己思维不够活跃
没有意识到这种做法
再以后的做题中要多角度想问题
例如换个东西循环，然后求出我们要的
