BZOJ3675: [Apio2014]序列分割

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简要题意：

　　一开始给出n个数的一段序列，可以分割k次，每次只能分割一段序列，一段序列被分割后就变成两个序列，每次分割的价值为分割的位置左边的数的和乘右边的数的和

　　求出最大价值

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题解：

　　DP+斜率优化

　　首先来设f[i][k]为前i个数，分割k次得到的最大价值

　　接下来。。。

　　方程。。。。

　　方程。。。

　　方程。。

　　方程。

　　需要玄学思考

　　其实这里用了乘法分配律，证明分割的顺序是与答案无关的，只要割对地方就行了

　　太棒了这样就得到f[i][k]=max(f[j][k-1]+sum[j]*(sum[i]-sum[j]))

　　然后滚动数组f[i][now]=max(f[j][last]+sum[j]*(sum[i]-sum[j]))

　　再用斜率优化，美滋滋

　　设j1<j2<i

　　得到

　　f[j2][last]+sum[j2]*(sum[i]-sum[j2])>f[j1][last]+sum[j1]*(sum[i]-sum[j1])

　　f[j2][last]-f[j1][last]+sum[j1]^2-sum[j2]^2>(sum[j1]-sum[j2])*sum[i]

　　(f[j2][last]-f[j1][last]+sum[j1]^2-sum[j2]^2)/(sum[j1]-sum[j2])<sum[i]

　　因为sum[j1]-sum[j2]有可能等于0，所以在处理队列的时候，如果存在sum[j1]-sum[j2]，要将j1给除掉，保留j2

　　注意加long long

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参考代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
//f[i][now]=max(f[j][last]+sum[j]*(sum[i]-sum[j]))
//j1<j2<i
//f[j2][last]+sum[j2]*(sum[i]-sum[j2])>f[j1][last]+sum[j1]*(sum[i]-sum[j1])
//f[j2][last]-f[j1][last]+sum[j1]^2-sum[j2]^2>(sum[j1]-sum[j2])*sum[i]
//(f[j2][last]-f[j1][last]+sum[j1]^2-sum[j2]^2)/(sum[j1]-sum[j2])<sum[i]
LL f[110000][2];
LL sum[110000];
int now=1,last=0;
LL slop(int j1,int j2)
{
    return (f[j2][last]-f[j1][last]-sum[j2]*sum[j2]+sum[j1]*sum[j1])/(sum[j1]-sum[j2]);
}
int list[110000];
int main()
{
    int n,K;
    scanf("%d%d",&n,&K);
    sum[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int d;
        scanf("%d",&d);
        sum[i]=sum[i-1]+d;
    }
    memset(f,0,sizeof(f));
    for(int k=1;k<=K;k++)
    {
        now^=1;last^=1;
        int head=1,tail=0;list[head]=0;
        for(int i=k;i<=n;i++)
        {
            while(head<tail&&(sum[list[head]]==sum[list[head]+1]||slop(list[head],list[head+1])<sum[i])) head++;
            int j=list[head];
            f[i][now]=f[j][last]+sum[j]*(sum[i]-sum[j]);
            while(head<tail&&(sum[i]==sum[list[tail]]||slop(list[tail-1],list[tail])>slop(list[tail],i))) tail--;
            list[++tail]=i;
        }
    }
    printf("%lld\n",f[n][now]);
    return 0;
}