[HAOI 2015]按位或

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刚开始你有一个数字 $0$ ，每一秒钟你会随机选择一个 $[0,2^n-1]$ 的数字，与你手上的数字进行或（ $\text{or}$ ）操作。选择数字 $i$ 的概率是 $p_i$ 。保证 $0\leq p_i\leq 1$ ， $\sum_{i=0}^{2^n-1}p_i=1$ 。问期望多少秒后，你手上的数字变成 $2^n-1$ 。

$1\leq n\leq 20$

Solution

不妨假设第 $i$ 秒后状态为 $S$ 的概率为 $fp_{i,S}$

显然 $i=1$ 时， $fp_{1,S}=p_S$ 。

注意到 $fp$ 会满足这样的关系

$$fp_{i,S} = \sum_{L \subseteq S} \sum_{R \subseteq S}^{} [L \cup R = S] fp_{i-1,L} \times p_R$$

记 $U=2^n-1$ ，于是我们可以得到答案就是

$$\sum_{i=1}^\infty i(fp_{i,U}-fp_{i-1,U})$$

其中 $fp_{i,U}-fp_{i-1,U}$ 表示恰好第 $i$ 时变为 $U$ 的概率。

记 $FP$ 为 $fp$ 的莫比乌斯变换，记 $P$ 为 $p$ 的莫比乌斯变换。显然 $FP_{i,S}=P_S^i$ 。

那么对于集合 $S$ 在莫比乌斯变换下得到的答案就是

$$\begin{aligned}&\sum_{i=1}^\infty i(P_S^i-P_S^{i-1})\=&\begin{cases}-(P_S^0
+P_S^1+\cdots+P_S^\infty)&P_S<1\0&P_S=1\end{cases}\=&\begin{cases}-\frac{1}{1-P_S}&P_S<1\0&P_S=1\end{cases}\end{aligned}$$

然后再反演回去直接得到答案即可。复杂度 $O(n2^n)$ 。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 25, SIZE = (1<<20)+5;
const double eps = 1e-7;

int bin[N], n;
double p[SIZE];

void FMT(double *f, int o) {
    for (int i = 1; i < bin[n]; i <<= 1)
        for (int j = 0; j < bin[n]; j++)
            if (i&j) f[j] += f[j^i]*o;
}
void work() {
    scanf("%d", &n); bin[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) bin[i] = (bin[i-1]<<1);
    for (int i = 0; i < bin[n]; i++) scanf("%lf", &p[i]);
    FMT(p, 1);
    for (int i = 0; i < bin[n]; i++)
        if (fabs(p[i]-1) <= eps) p[i] = 0;
        else p[i] = 1./(p[i]-1.);
    FMT(p, -1);
    p[bin[n]-1] <= eps ? puts("INF") : printf("%.7lf\n", p[bin[n]-1]);
}
int main() {work(); return 0; }