[Luogu 3807]【模板】卢卡斯定理

Description

给定n,m,p(1≤n,m,p≤10​^5​​)

求 C_{n+m}^{m} \mod p

保证P为prime

C表示组合数。

一个测试点内包含多组数据。

Input

第一行一个整数T(T≤10)，表示数据组数

第二行开始共T行，每行三个数n m p，意义如上

Output

共T行，每行一个整数表示答案。

Sample Input

2
1 2 5
2 1 5

Sample Output

3
3

题解

$Lucas$定理。

就是$C^m _n \mod p = C^{m/p} _{n/p}*C^{m \mod p} _{n \mod p} \mod p$。

证明：不会。记着就行。

代码实现方面，注意两点：

1.对于$C^{m/p} _{n/p}$部分可以继续使用$Lucas$定理递归求解。

2.求逆元，可以用费马小定理做快速幂，当然也可以线性预处理阶乘逆元。注意，若线性预处理，需要将$0$位赋为$1$（很好理解，不做解释）。

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#include <map>
#include <set>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
using namespace std;
const int N = 1e5;

int n, m, p;
int A[N+5], B[N+5];

int C(int n, int m, int p) {
    if (m > n) return 0;
    return (LL)A[n]*B[n-m]%p*B[m]%p;
}
int Lucas(int n, int m, int p) {
    if (!m) return 1;
    return (LL)C(n%p, m%p, p)*Lucas(n/p, m/p, p)%p;
}
void work() {
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &p);
    A[0] = B[0] = A[1] = B[1] = 1;
    n += m;
    for (int i = 2; i <= p; i++)
        B[i] = -(LL)(p/i)*B[p%i]%p;
    for (int i = 2; i <= p; i++)
        A[i] = (LL)A[i-1]*i%p,
        B[i] = (LL)B[i-1]*B[i]%p;
    printf("%d\n", (Lucas(n, m, p)+p)%p);
}
int main() {
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while (t--)
        work();
    return 0;
}