[NOIp 2014]解方程

Description

已知多项式方程：

a0+a1x+a2x^2+..+anx^n=0

求这个方程在[1, m ] 内的整数解（n 和m 均为正整数）

Input

输入文件名为equation .in。

输入共n + 2 行。

第一行包含2 个整数n 、m ，每两个整数之间用一个空格隔开。

接下来的n+1 行每行包含一个整数，依次为a0,a1,a2..an

Output

输出文件名为equation .out 。

第一行输出方程在[1, m ] 内的整数解的个数。

接下来每行一个整数，按照从小到大的顺序依次输出方程在[1, m ] 内的一个整数解。

Sample Input1

2 10 
1
-2
1

Sample Output1

1
1

Sample Input2

2 10
2
-3
1

Sample Output2

2
1
2

Sample Input3

2 10 
1  
3  
2  

Sample Output3

0

Hint

对于30%的数据:0<n<=2,|ai|<=100,an!=0,m<100

对于50%的数据:0<n<=100,|ai|<=10^100,an!=0,m<100

对于70%的数据:0<n<=100,|ai|<=10^10000,an!=0,m<10000

对于100%的数据:0<n<=100,|ai|<=10^10000,an!=0,m<1000000

题解

30/50分算法：

1、直接枚举，注意要用高精度。

2、复杂度$O(m*n^3)$。

70分算法：

1、常识告诉我们这种方程求整数解不会有什么正经解法，有也不是联赛内容；

2、选$k$个质数$p$，并让系数都对$p$取模，然后把$1$到$m$一个个带入验证看是不是为$0$。如果对于一个$x$，在所有取模意义下都满足方程，我们就认为这个$x$是原方程的一个解；

3、一个模数不够就多取几个质数，一般取到$5$就可以了；

4、因为没有了高精度，所以复杂度为$O(m*n*s)$， $s$为质数个数。

100分算法：

1、 $70$分做法的基础上，发现模数$p$如果取得比较小，会有个有用的信息：$x$取值$x_0$的答案和取值$x_0+p$的答案是一样的；实际上基于一个模同余式引理： $f(x)≡0(mod p)$，则$f(x+p)≡0(mod p)$

2、所以我们只需要预处理出$x$取值$0$~$p-1$时候的答案，再枚举$1$~$m$就可以直接查询了。 

 

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#include <set>
#include <map>
#include <cmath>
#include <ctime> 
#include <queue>
#include <stack>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define LL long long
using namespace std;
const int N = 100;
const int M = 1000000;
const int p[10] = {
    1007, 10007, 12347, 12349, 100017, 111647, 19720308, 19750920, 19981117, 20150208
};

int n, m;
LL a[N+5][10];
bool vis[M+5];
int ans[M+5], cnt = 0;

void getdata(int x) {
    char ch = N;
    bool flag = 0;
    while ((ch < '0' || ch > '9') && (ch != '-')) ch = getchar();
    if (ch == '-') {
        flag = 1;
        ch = getchar();
    }
    while (ch >= '0' && ch <= '9') {
        for (int i = 0; i < 10; i++) a[x][i] = (a[x][i]*10+ch-48) % p[i];
        ch = getchar();
    }
    if (flag) for (int i = 0; i < 10; i++) a[x][i] *= -1;
}
bool check2(int x, int kk) {
    LL v = a[n][kk];
    for (int i = n-1; i >= 0; i--)
        v = (v*x+a[i][kk])%p[kk];
    if (v) {
        int t = x;
        while (t <= m) {
            vis[t] = 1;
            t += p[kk];
        }
        return false;
    }
    return true;
}
bool check(int x) {
    if (vis[x]) return false;
    for (int i = 0; i <10; i++)
        if (!check2(x, i)) return false;
    return true;
}
void work() {
    for (int i = 0; i <= n; i++)
        getdata(i);
    for (int i = 1; i <= m; i++)
        if (check(i)) ans[++cnt] = i;
    printf("%d\n", cnt);
    for (int i = 1; i <= cnt; i++)
        printf("%d\n", ans[i]);
}

int main() {
    while (~scanf("%d%d", &n, &m))
        work();
    return 0; 
}