【数论三题】简单题 比赛排名 质因数

这三个题思路都不复杂，就放在一起

简单题

题面

计算

由于最终结果可能超过int的范围，因此请将运算结果对1000000007取模。

一个整数T（T <= 200000），表示数据组数。每行两个整数m, n。（0 < m <= n <= 2000）

分析

就是求组合数啊 C(n,m)

想一想一层套一层的循环，每一次都要从前一个数+1开始，不是等价于前一个循环中，有一个数被选择了，还剩下的数从+1开始，相当于在这一层循环里去挑一个出来啊。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 2020
#define ll long long 
#define mod 1000000007
ll t,n,m;
ll c[N][N];
int main()
{
    c[1][0]=c[1][1]=1;
    for(ll i=2;i<=2011;i++)
    {    
        c[i][0]=1;
        for(ll j=1;j<=2011;j++)
            c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
    }
    scanf("%lld",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld%lld",&m,&n);
        printf("%lld\n",c[n][m]);
    }
    return 0;
}

比赛排名

题面

N个同学参加比赛，问有多少种排名情况，允许出现并列的情况（N<=12）

分析

这个题老师放了水，原题N<=200，但是思路是一样的

考虑谁当第一，比如对于n=4是，可以在四个中选一个当第一，也可以选两个，选三个，选四个

所以有ans[4]=c(4,1)*ans[3]+c(4,2)*ans[2]+c(4,3)*ans[1]+c(4,4)*ans[0]

所以n可以类似的去算，可以得到这样的一个计算方式

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 20
#define ll long long
ll n,a[N],c[N][N];

ll dfs(ll x)
{
    if(x==0)return 1;
    if(a[x])return a[x];
    for(int i=1;i<=x;i++)
        a[x]+=c[x][i]*dfs(x-i);
    return a[x];
}

int main()
{
    cin>>n;
    c[1][1]=c[1][0]=1;
    for(ll i=2;i<=14;i++)
    {    
        c[i][0]=1;
        for(ll j=1;j<=14;j++)
            c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
    }
    cout<<dfs(n);
}

质因数

题面

OtosakaYuu最近为了Nao Tomori拯救世界而立了一个flag，于是他想了一道数学题。有一个正整数数列a1,a2…an。定义函数f(x)为x的不同的质因数数量。求f(a1),f(a2)…f(an)。

第一行包含一个正整数，表示n。接下来n行，每行包含一个正整数ai。1<=n<=1000000,2<=ai<=1000000

分析

只能o(1)地做，在线性筛上加特判

对于一个被prime[j]筛出来的数，考虑和prime[j]相乘的i是否能整除prime[j],如果可以，证明i*prime[j]已经有prime[j]这个因数了，如果不可以，那它的质因数数目会在i的质因数数目的基础上+1

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1000100
#define mx 1000010
#define ll long long
ll t,n,cnt,c,k,mm;
ll s[N],f[N],v[N],num[N],prime[N];
void primes(int n)
{
    num[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!v[i])
        {
            prime[++cnt]=i;
            v[i]=i;num[i]=1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt;j++)
        {
            if(prime[j]>v[i]||prime[j]>n/i)break; 
            v[i*prime[j]]=prime[j];
            if(i%prime[j])num[i*prime[j]]=num[i]+1;
            else num[i*prime[j]]=num[i];
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%lld",&t);
    primes(mx);
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
        scanf("%lld",&k);
        printf("%lld\n",num[k]);
    }
    
}