BZOJ1492: [NOI2007]货币兑换Cash 【dp + CDQ分治】
1492: [NOI2007]货币兑换Cash
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Description
小Y最近在一家金券交易所工作。该金券交易所只发行交易两种金券:A纪念券(以下简称A券)和 B纪念券(以下
简称B券)。每个持有金券的顾客都有一个自己的帐户。金券的数目可以是一个实数。每天随着市场的起伏波动,
两种金券都有自己当时的价值,即每一单位金券当天可以兑换的人民币数目。我们记录第 K 天中 A券 和 B券 的
价值分别为 AK 和 BK(元/单位金券)。为了方便顾客,金券交易所提供了一种非常方便的交易方式:比例交易法
。比例交易法分为两个方面:(a)卖出金券:顾客提供一个 [0,100] 内的实数 OP 作为卖出比例,其意义为:将
OP% 的 A券和 OP% 的 B券 以当时的价值兑换为人民币;(b)买入金券:顾客支付 IP 元人民币,交易所将会兑
换给用户总价值为 IP 的金券,并且,满足提供给顾客的A券和B券的比例在第 K 天恰好为 RateK;例如,假定接
下来 3 天内的 Ak、Bk、RateK 的变化分别为:
![](http://www.lydsy.com/JudgeOnline/upload/201604/dd(1).png)
假定在第一天时,用户手中有 100元 人民币但是没有任何金券。用户可以执行以下的操作:
![](http://www.lydsy.com/JudgeOnline/upload/201604/dd(2).png)
注意到,同一天内可以进行多次操作。小Y是一个很有经济头脑的员工,通过较长时间的运作和行情测算,他已经
知道了未来N天内的A券和B券的价值以及Rate。他还希望能够计算出来,如果开始时拥有S元钱,那么N天后最多能
够获得多少元钱。
Input
输入第一行两个正整数N、S,分别表示小Y能预知的天数以及初始时拥有的钱数。接下来N行,第K行三个实数AK、B
K、RateK,意义如题目中所述。对于100%的测试数据,满足:0<AK≤10;0<BK≤10;0<RateK≤100;MaxProfit≤1
0^9。
【提示】
1.输入文件可能很大,请采用快速的读入方式。
2.必然存在一种最优的买卖方案满足:
每次买进操作使用完所有的人民币;
每次卖出操作卖出所有的金券。
Output
只有一个实数MaxProfit,表示第N天的操作结束时能够获得的最大的金钱数目。答案保留3位小数。
Sample Input
3 100
1 1 1
1 2 2
2 2 3
1 1 1
1 2 2
2 2 3
Sample Output
225.000
HINT
题解
蒟蒻经济头脑真的差。。
按照生活经验要使利益最大每次一定要全部换完
我们设f[i]表示第i天最大人民币数
则有f[i] = max{A[i] * R[j] * f[j] / (R[j] * A[j] + B[j]) + B[i] * f[j] / (R[j] * A[j] + B[j])}
我们就有了O(n ^ 2)算法
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define LL long long int #define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++) #define fo(i,x,y) for (int i = (x); i <= (y); i++) #define Redge(u) for (int k = head[u]; k != -1; k = edge[k].next) using namespace std; const int maxn = 100005,maxm = 100005,INF = 1000000000; inline int read(){ int out = 0,flag = 1;char c = getchar(); while (c < 48 || c > 57) {if (c == '-') flag = -1; c = getchar();} while (c >= 48 && c <= 57) {out = out * 10 + c - 48; c = getchar();} return out * flag; } int N; double S,A[maxn],B[maxn],R[maxn],f[maxn],ans; int main() { N = read(); S = read(); REP(i,N) A[i] = read(),B[i] = read(),R[i] = read(); ans = S; f[1] = S / (R[1] * A[1] + B[1]); for (int i = 2; i <= N; i++){ for (int j = 1; j < i; j++) ans = max(ans,f[j] * B[i] + R[j] * f[j] * A[i]); f[i] = ans / (R[i] * A[i] + B[i]); } printf("%.3lf\n",f[N] * B[N] + R[N] * f[N] * A[N]); return 0; }
然而满分算法是很艰难的,需要我们优化
同样的,若k < j < i 且j优于k,就有
A[i] * R[j] * f[j] / (R[j] * A[j] + B[j]) + B[i] * f[j] / (R[j] * A[j] + B[j]) > A[i] * R[k] * f[k] / (R[k] * A[k] + B[k]) + B[i]
* f[k] / (R[k] * A[k] + B[k])
令yj = f[j] / (R[j] * A[j] + B[j])
令xj = R[j] * yj
化为(yj - yk) / (xj - xk) > -A[i] / B[i]
就可以把每一天看做一个点(xi,yi)了
我们对于f[i],有斜率k = -A[i] / B[i]的直线
我们需要找到i之前所有点组成的凸包中过该直线y轴截距最大的点
如果所有点x单调且斜率单调的话就可以用单调队列维护了
很可惜这题二者都不单调
所以我们要用splay维护凸包【好难写,而且也不会】
没办法听说有一种东西叫CDQ分治
主要思想是这样的,先将各点按斜率排序【每个点对应的斜率与f无关,可以直接得到】
solve(L,R)可以算出[L,R]内所有的f值且算完后所有点按坐标排序
那么我们可以先算solve(L,mid),之后对[L,mid]维护一个凸包用来更新[mid + 1,R]中的f值
由于左区间坐标有序,而右区间斜率有序,就可以用一个栈直接维护了
之后solve(mid + 1,R)
算完后再将所有点按坐标排序【类似于归并的合并】
好难写QAQ,蒟蒻写了一个下午
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstring> #include<algorithm> #define LL long long int #define eps 1e-9 #define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++) #define fo(i,x,y) for (int i = (x); i <= (y); i++) #define Redge(u) for (int k = head[u]; k != -1; k = edge[k].next) using namespace std; const int maxn = 100005,maxm = 100005,INF = 1000000000; int n,top,st[maxn]; double f[maxn]; struct node{double x,y,a,b,r,k;int id;}p[maxn],t[maxn]; inline bool operator < (const node& a,const node& b){return a.k > b.k;} inline double slope(int u,int v){ if (!v) return -1e20; if (fabs(p[u].x - p[v].x) < eps) return 1e20; return (p[u].y - p[v].y) / (p[u].x - p[v].x); } void solve(int L,int R){ if (L == R){ f[L] = max(f[L],f[L - 1]); p[L].y = f[L] / (p[L].a * p[L].r + p[L].b); p[L].x = p[L].r * p[L].y; return; } int mid = (L + R) >> 1,l1 = L,l2 = mid + 1,j = 1; for (int i = L; i <= R; i++) if (p[i].id <= mid) t[l1++] = p[i]; else t[l2++] = p[i]; for (int i = L; i <= R; i++) p[i] = t[i]; solve(L,mid); top = 0; for (int i = L; i <= mid; i++){ while (top > 1 && slope(st[top - 1],st[top]) < slope(st[top - 1],i) + eps) top--; st[++top] = i; } st[++top] = 0; for (int i = mid + 1; i <= R; i++){ while (j < top && slope(st[j],st[j + 1]) + eps > p[i].k) j++; f[p[i].id] = max(f[p[i].id],p[st[j]].x * p[i].a + p[st[j]].y * p[i].b); } solve(mid + 1,R); l1 = L; l2 = mid + 1; for (int i = L; i <= R; i++){ if (((p[l1].x < p[l2].x || (fabs(p[l1].x - p[l2].x) < eps && p[l1].y < p[l2].y)) || l2 > R) && l1 <= mid) t[i] = p[l1++]; else t[i] = p[l2++]; } for (int i = L; i <= R; i++) p[i] = t[i]; } int main() { scanf("%d%lf",&n,&f[0]); REP(i,n){ scanf("%lf%lf%lf",&p[i].a,&p[i].b,&p[i].r); p[i].k = -p[i].a / p[i].b; p[i].id = i; } sort(p + 1,p + 1 + n); solve(1,n); printf("%.3lf\n",f[n]); return 0; }