选课
选课(树形dp)
在大学里每个学生,为了达到一定的学分,必须从很多课程里选择一些课程来学习,在课程里有些课程必须在某些课程之前学习,如高等数学总是在其它课程之前学习。现在有N门功课,每门课有个学分,每门课有一门或没有直接先修课(若课程a是课程b的先修课即只有学完了课程a,才能学习课程b)。一个学生要从这些课程里选择M门课程学习,问他能获得的最大学分是多少?1<=N<=300,1<=M<=300。
神奇的树形dp题。\(f[x][i][j]\)表示第x个几点,处理到前i个子树,容量为j。若x的孩子为y,那么状态转移方程是\(f[x][i][j]=max(f[x][i-1][j], f[x][i-1][k]+f[y][all][j-k])\)。起始条件是\(f[x][0][1]=v[x]\)。由于后续状态必须由起始条件推出,所以是满足题意的。为了把i处理掉,考虑倒推dp,然后可以用\(f[x][j]=max(f[x][j], f[x][k]+f[y][j-k])\)的状态转移方程。时间复杂度\(O(nm^2)\)。
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=305, maxm=305;
class Graph{
public:
struct Edge{
int to, next; Graph *bel;
Edge& operator ++(){
return *this=bel->edge[next]; }
inline int operator *(){ return to; }
};
void addedge(int x, int y){
Edge &e=edge[++cntedge];
e.to=y; e.next=fir[x]; e.bel=this;
fir[x]=y;
}
Edge& getlink(int x){ return edge[fir[x]]; }
private:
int cntedge, fir[maxn];
Edge edge[maxn*2];
};
Graph g;
int n, m, v[maxn], f[maxn][maxm];
void dfs(int now){
Graph::Edge e=g.getlink(now);
f[now][1]=v[now];
for (; *e; ++e){
dfs(*e);
for (int j=m; j>=2; --j)
for (int k=1; k<j; ++k)
f[now][j]=max(f[now][j], f[now][k]+f[*e][j-k]);
//dp限制了必须选自己再选子树。
}
}
int main(){
scanf("%d%d", &n, &m); int x, y;
for (int i=1; i<=n; ++i){
scanf("%d%d", &x, &y);
g.addedge(x, i); v[i]=y;
}
++m; dfs(0); int ans=0;
printf("%d\n", f[0][m]);
//没有必要对所有取max,因为根据贪心,f[0][m]一定是最优的
return 0;
}