四边形不等式

四边形不等式用于区间\(dp\)，对于\(dp\)方程（注意如果额外代价和\(k\)有关好像是不行的...）：

\[dp_{i,j}=\min_{k=i}^{j-1}\{dp_{i,k}+dp_{k+1,j}\}+w_{i,j} \]

如果\(\forall a<b \leq c<d\)，都有\(w_{a,c}+w_{b,d}\leq w_{b,c}+w_{a,d}\)，那么就可以用四边形不等式把复杂度从\(O(n^3)\)优化到\(O(n^2)\)。

具体操作是：对于\(\forall i,j\)，设\(pos_{i,j}\)是使\(dp_{i,j}\)取到最优值的\(k\)，则有\(pos_{i,j-1} \leq pos_{i,j} \leq pos_{i+1,j}\)。然后在这个范围内暴力循环\(k\)，是\(O(n^2)\)的。

真正做题的时候可以先暴力区间\(dp\)，然后发现它是满足上述单调性的就好了。

证明待填坑。