收集邮票

也许更好的阅读体验
\(\mathcal{Description}\)

有\(n\)种邮票，每天等概率的买一张邮票，第\(i\)天购买要花费\(i\)元，求收集\(n\)种邮票的期望花费

\(\mathcal{Solution}\)

先设\(f[i]\)表示买到\(i\)种邮票后，离买到\(n\)种邮票的期望还差天数
和最上面那题一样的处理方法
考虑当前买了\(i\)张邮票，再买一张邮票，有两种情况

1. 有\(\frac{i}{n}\)的概率买到重复的邮票，此时仍只买到\(i\)张邮票
2. 有\(\frac{n-i}{n}\)的概率买到没买过的邮票，此后就已买到\(i+1\)张邮票

需要注意的是，无论哪种情况，都过了一天
所以有
\(f[i]=\frac{i}{n}f[i]+\frac{n-i}{n}f[i+1]+1\)
将其化简
\(f[i]=f[i+1]+\frac{n}{n-i}\)

初值\(f[n]=0\)，答案为\(f[0]\)
应逆向循环

当然这只是期望天数，不是期望花费
设\(g[i]\)表示 拥有(不是买)\(i\)种邮票， 买到\(n\)种邮票的期望花费
考虑当前拥有了\(i\)张邮票，买一张邮票，有两种情况

1. 有\(\frac{i}{n}\)的概率买到重复的邮票，此时仍只拥有\(i\)种
2. 有\(\frac{n-i}{n}\)的概率买到没买过的邮票，此后就已拥有\(i+1\)张邮票

需要注意的是，无论哪种情况，都买了一张邮票
此时我们不知道每张邮票多少钱
但我们知道每张邮票和过了多少天有关
这次的注意写在前面，我们是认为有了\(i\)张邮票后才开始，所以第一天邮票价格为\(1\)元
为什么这么设？
我们不知道也不好处理出前面买了多少张邮票，再买到一张邮票要多少钱
但是我们知道第一天肯定是只要\(1\)元的，答案为\(g[0]\)，中间的过程不重要，只需推出最终答案
我们借助初始状态的这条非常有用的性质于是就设出了这样的\(g\)
这样我们可以知道

1. 若买到重复的邮票，我们知道，因为是设当前是第一天，所以原本希望买到的邮票的天数又往后推了一天，所以总价格要多\(f[i]\)元，还要加上自己的\(1\)元
2. 若买到没买过的邮票，同理，因为后面的\(g[i+1]\)也是从第\(1\)天开始考虑的，所以原本希望买到的邮票数也往后推了一天，所以价格要多\(f[i+1]\)元，还要加上自己的\(1\)元

所以有

1. \(g[i]+=\frac{i}{n}(g[i]+f[i]+1)\)
2. \(g[i]+=\frac{n-i}{n}(g[i+1]+f[i+1]+1)\)

总写下来就是\(g[i]=\frac{i}{n}(g[i]+f[i]+1)+\frac{n-i}{n}(g[i+1]+f[i+1]+1)\)

将其化简得到
\(g[i]=\frac{i}{n-i}f[i]+g[i+1]+f[i+1]+\frac{n}{n-i}\)

初值\(g[n]=0\)，答案为\(g[0]\)
应逆向循环

---

\(\mathcal{Code}\)

/*******************************
Author:Morning_Glory
LANG:C++
Created Time:2019年07月22日 星期一 16时43分11秒
*******************************/
#include <cstdio>
#include <fstream>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn = 10004;
//{{{cin
struct IO{
	template<typename T>
	IO & operator>>(T&res){
		res=0;
		bool flag=false;
		char ch;
		while((ch=getchar())>'9'||ch<'0')	 flag|=ch=='-';
		while(ch>='0'&&ch<='9') res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^'0'),ch=getchar();
		if (flag)	 res=~res+1;
		return *this;
	}
}cin;
//}}}
int n;
double f[maxn],g[maxn];
//f[i] -> 买到i种邮票后，离买到n种邮票的期望还差天数
//g[i] -> 拥有(不是买)i种邮票， 买到n种邮票的期望花费
int main()
{
	cin>>n;
	f[n]=0,g[n]=0;
	for (int i=n-1;i>=0;--i)	f[i]=f[i+1]+1.0*n/(n-i);
	for (int i=n-1;i>=0;--i)	g[i]=1.0*i/(n-i)*f[i]+g[i+1]+f[i+1]+1.0*n/(n-i);
	printf("%.2lf\n",g[0]);
	return 0;
}


``

本篇博客亦被收进[期望总结](https://www.cnblogs.com/Morning-Glory/p/11228082.html)
>如有哪里讲得不是很明白或是有错误，欢迎指正
如您喜欢的话不妨点个赞收藏一下吧