二分图最多匹配~讲解

关于二分图的定义？

二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。——摘自百度百科

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首先二分图匹配是什么？

个人不喜欢直接上来给这种那种定义，我们拿个例子，伴随这次讲解。随着时代的变迁，你成功的当上了一名大型交友平台主持人，现在在你的节目上，有男生一队，女生一队。而且你知道他们之间谁对谁会有好感，为了人类的繁衍生息，你需要尽可能多的让他们一对一对的匹配。

这里的男一队女一队，就是一个二分图。而进行尽可能多的匹配也就是我们今天解决的问题，二分图最多匹配问题，找出来到底能配对多少对。关于二分图匹配，其实有很多类型，这里我们用匈牙利算法，据说可以解决除了完美匹配外的所有匹配问题。但这里只解决二分图最多匹配问题。

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那么什么是匈牙利算法？

所谓的匈牙利算法，放在这里，我们假设每个男生会对大于等于1的小姐姐有好感。我们先给第一个人匹配小姐姐，如果这个小姐姐没有被抢走，我们就撮合他俩，再看下一个人，如果下一个人喜欢的也是上一个小姐姐，我们就移动上一个匹配好的人，让他跟另外有好感的小姐姐连接，然后在把现在要匹配的男生跟他有好感的小姐姐连接。接着第三个，第四个...一直到第N个，都是这样的思路，如果没有跟前面所有的男生冲突，我们就让他连接当前的小姐姐，如果有冲突，就赶走让他前面的男生，让前面的男生让出地方给他。一直赶前面的人直到最一开始的男生发现实在是都换不了了，那这次的哥们就悲剧了。

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code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring> 
using namespace std;
inline int read()
{
    int ret=0;
    char c=getchar();
    while (c<'0' || c>'9') c=getchar();
    while (c>='0' && c<='9'){
        ret=((ret<<3)+(ret<<1))+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return ret;
}
const int maxn = 2000;
int n, m, e, ans;
int vis[maxn], link[maxn], a[maxn][maxn]; //vis是小姐姐的编号，来判断这次匹配中小姐姐有没有被抢走，所以每次要重置0，link[i]就是记录当前小姐姐i和谁连接，有变动就修改，无变动就这样匹配着 
bool dfs(int x)
{
    for(int i = 1; i <= m; i++)//枚举每个左边点 
    if(a[x][i] && !vis[i])//x对小姐姐i有好感，小姐姐i还没有被抢 
    {
        vis[i] = 1;//就抢走编号为i的 只要这次有人对i号小姐姐有好感，不管落到谁手里，一定会被抢，所以置为1 
        if(!link[i] || dfs(link[i])) //如果i小姐姐还没有找到，那么就让他们连接，或者是让前面的让出位置来，让他换一个小姐姐 
        {
            link[i] = x;//当前小姐姐和x连接 
            return 1;//不管赶走多少人，在保证之前可以的情况下，自己只要匹配到，就ans++ 
        }
    }
    return 0;
}
int main()
{
    int u,v;
    n = read(); m = read(); e = read();
    //scanf("%d%d%d",&n,&m,&e); 
    for(int i = 1; i <= e; i++)
    {
        u = read(); v = read();
        //scanf("%d%d",&u,&v);
        a[u][v] = 1;
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        if(dfs(i)) ans++;
    }
    printf("%d\n",ans);
    /*for(int i = 1; i <= n; i++)
    cout<<link[i]<<" ";*/
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    cout<<vis[i]<<" ";
    return 0; 
}