[学习笔记]快速幂&&快速乘

本质：二进制拆分（你说倍增我也没脾气）。然后是一个配凑。

合起来就是边二进制拆分，边配凑。

 

快速乘（其实龟速）：把乘数二进制拆分。利用乘法分配率。

用途：防止爆long long

代码：

ll qk(ll x,ll y,ll mod){
    ll ret=0;
    while(y){
        if(y&1) (ret+=x)%=mod;
        (x+=x)%=mod;
        y>>=1;
    }
    return ret;
}

 

如果为了卡常，可以写成这样：

ll qk(ll x,ll y,ll mod){
    ll ret=0;
    x%=mod;y%=mod;
    while(y){
        if(y&1) ret=ret+x>=mod?ret+x-mod:ret+x;
        x=x+x>=mod?x+x-mod:x+x;
        y>>=1;
    }
    return ret;
}

第一行必须有x%=mod,y%=mod，否则开始x，y可能很大，减一次mod不能减到mod以下。

还是错过几次。。。

（有时候卡这个取模还是挺有效的。）

 

快速幂（真的快速）：把指数二进制拆分。利用：a^(x+y)=a^x*a^y

用途：各种指数运算，一般还取模。

推广：矩阵快速幂。

 

代码略。

 

快速幂经常与快速乘结合。log^2n也是可以接受的。

例题：

随机数生成器

直接推式子，然后分治求等比数列，爆long long，要快速乘。

复杂度：O(log^3n)

 

upda:2018.10.12

你以为快速幂就这么简单？？？
其实可以更有趣一些。

与其说快速幂本质是二进制拆分，不如说是进制拆分。

因为，我们可以10进制快速幂！！！

应用于高精快速幂。

因为/2是O（len）的，除法复杂度太高 。

而如果高精用10进制存储，可以10进制快速幂！！每次干掉低位，类比于二进制下的左移和右移。

复杂度也是logn的。奇技淫巧第24条。

 

快速幂快吗？很快。但是还是logn的。

如果要多次进行快速幂，那么每次logn的复杂度可能还是不能接受。

我们根据拆分的思想，如果指数在1e9范围内，那么A^k=A^([k/1e4]*1e4+k%1e4)=A^([k/1e4]*1e4)*A^(k%1e4)

可以尝试根号预处理。

[六省联考2017]相逢是问候——欧拉公式+线段树

 

upda：2019.1.19

延伸一下

分块预处理，可以称之为“光速幂”

然后块速递推