偏微分方程数值解---学习总结(1)
偏微分方程数值解---学习总结(1)
1.知识回顾 （注:\(\mit V\)是线性空间）
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内积
$(\cdot ,\cdot):\mit V \times \mit V \longrightarrow \mathbb{R} $ 是一个双线性映射，并且满足 \((i) (u,v)=(v,u), \forall \, u,v \in\mit V\);
$(ii) (u,u) \ge 0, \forall , u \in \mit V $ ; \((iii) (u,u)=0\) 当且仅当 \(u=0\).
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半范数
\(||\cdot||:\mit V \longrightarrow \mathbb{R}\) 是一个线性映射，满足 下列条件:
\[\begin{align} &(i) ||v||\ge 0, \forall \, v \in \mit V;\\ &(ii) ||cv||=|c|||v||,\forall v \in \mit V, \forall c \in \mathbb{R}; \\ &(iii) ||u+v||\leq ||u||+||v||, \forall u, v \in \mit V. \end{align} \] -
范数
范数+条件 ”\(||u||=0\)当且仅当 \(u=0\)".
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范数等价定理：
设 \(||\cdot||\) 和 \(|||\cdot|||\) 是线性空间 \(\mathbf V\) 上两个范数，如果存在两个正数 \(c_1\) 和 \(c_2，\)
满足下列 不等 式, 则称 \(||\cdot||\) 和 \(|||\cdot|||\) 是等价的，
\[c_1 ||v||\leq |||v||| \leq c_2 ||v||, \forall \,c_1,c_2 \in \mathbb{R},\,\forall \,v \in \mit V. \] -
内积空间
一个线性空间被赋予内积, 它就是一个内积空间.
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内积可以产生诱导范数
\[||v||=(v,v)^{1/2},\,\forall \,v \in \mit V. \] -
Schwarz inequality
\[|(w,v)|\leq ||w||\,||v||,\, \forall w,v \in \mit V. \]
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希尔伯特空间
完备的内积空间是希尔伯特空间 (即内积空间内任意柯西序列都是收敛的).
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赋范线性空间
一个线性空间被赋予范数，则它成为赋范线性空间。
- 内积空间一定是赋范线性空间，其范数为 \(||v||=(v,v)^{1/2},\,\forall \,v \in \mit V.\)
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巴拿赫空间
完备的赋范线性空间，即赋范线性空间内任意柯西序列都是收敛的.
- 希尔伯特空间一定是巴拿赫空间。
2. 重要概念
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对偶空间
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如果（\(\mit V, ||\cdot||_{\mit V}\)）和 （\(\mit W, ||\cdot||_{\mit w}\)）是两个赋范线性空间, 从\(\mathbf V\) 到\(\mit W\) 的所有线性泛函构成一个赋范线性空间 , 记为 \(\scr L(\mit V;\mit W)\) . 对于 \(L \in \scr L(\mit V;\mit W)\),定义范数如下：
\[||L||_{\scr L(\mit V;\mit W)}:=\sup_{0\neq v \in \mit V}\frac{||Lv||_{\mit W}}{||v||_{\mit V}}. \] -
如果\(\mit W\) 空间是一个巴拿赫空间，则 \(\scr L(\mit V;\mit W)\) 也是一个巴拿赫空间。
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如果\(\mit W=\mathbb{R}\), 则称\({\color{Red}\scr L(\mit V;\mathbb{R})}\)是 \(\mit V\) 的对偶空间，常记为\({\color{Red}\mit V'}\).
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对偶对(duality pairing)满足下列的双线性形式，就被称为 \(\mit V\) 和\(\mit V'\) 之间的对偶对，
\[\begin{align*} <\cdot\,,\,\cdot>&:\mit V' \times \mit V \longrightarrow \mathbb{R}\\ &<L,v>\longmapsto L(v). \end{align*} \]
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各种收敛性定义
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强收敛：
赋范线性空间\(\mit V\) 中序列 \(\{v_n\}\) 弱收敛于 \(v \, \in \mit V\) 是指按范数收敛，即 \(||v_n-v||\rightarrow0(n\rightarrow \infty).\)
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弱收敛：
赋范线性空间\(\mit V\) 中序列 \(\{v_n\}\) 弱收敛于 \(v \, \in \mit V\) 是指 对任意一个\(L\in\mit V'\), 均有 \(L(v_n)\) 收敛于\(L(v),\) 即 \(|L(v_n)-L(v)|\rightarrow0(n \rightarrow \infty).\)
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*弱收敛
对偶空间\(\mit V’\) 中序列 \(\{L_n\}\) 弱收敛于 \(L \, \in \mit V'\) 是指对任意一个 \(v\in \mit V\), 均有 \(||L_n(v)-L(v)||\rightarrow 0(n \rightarrow \infty).\)
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\({\color{Red}\mit V 中强收敛 \Rightarrow 弱收敛.}\)
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\({\color{Red}\mit V' 中弱收敛 \Rightarrow * 弱收敛.}\)
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\(\mit L^{p}(\Omega)\) 空间 \(\Omega_{开}\subset \mathbb{R}^{d}\),\(d\ge 1\),且 \(\Omega\) 是 Lebesgue 可测。
\[\begin{align*}\mit L^{p} &:=\left\{v\,\,\big|\int_{\Omega}\,\left|v(x)\right|\,^p\,dx \leq \infty \right\},\,1 \leq p\, <\infty,\\ \mit L^{\infty} &:=\sup\left\{|v(x)|, \,\,x\in\Omega \right\}<\infty. \end{align*} \]其范数为：
\[\begin{align*}||v||_{\mit L^{p}} &:=\left(\int_{\Omega}\,\left|v(x)\right|\,^p\,dx\right)^{1/p} ,\,1 \leq p\, <\infty,\\ ||v||_{\mit L^{\infty}} &:=\sup\left\{|v(x)|, \,\,x\in\Omega \right\} \end{align*} \] -
\(\mit L^{2}(\Omega)\) 空间实际上就是希尔伯特空间，其内积为 \((w,v)_{\mit L^{2} (\Omega)}=\int_{\Omega}\,w(x)\,v(x)\;dx\)
- \(||\cdot||_0=||\cdot||_{\mit L^{2} (\Omega)}\) 记住
- \(\mit L^{p}(\Omega)\) 是 \(Banach\) 空间, 它的对偶空间为\(\mit L^{q}(\Omega)\), \(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,\) 而只有 \(\mit L^{2}(\Omega)\) 是Hilbert 空间(对偶空间为本身).
- \(H \ddot{o}lder\)不等式：\(\big|\int_{\Omega}\, w(x)v(x)dx \big|\leq\,||w||_{\mit L^{p}(\Omega)}||v||_{\mit L^{q}(\Omega)},\,\,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\)
- \(\mit L^{p}(\Omega)\) $ \subset \mit L^{q}(\Omega),,,,q\leq p.$
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分布函数（\(Distributions\)）
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\(\mit C^{\infty}_{0}(\Omega)\) 是 \(\Omega\) 上具有紧支集(i.e. 存在有界开集\(\Omega'\subset \Omega\), \(d (\partial\Omega,\Omega)>0\)) 无穷维可微函数函数，且在边界上任意阶导数为零, 有时也记成 \(\mathcal{D}(\Omega)\).
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\(\mathcal{D}(\Omega)\) 中元素的导数 \(D^{\alpha}v:=\frac{\partial^{|\alpha|}v}{\partial^{\alpha_1}x_1\partial^{\alpha_2}x_2 \cdots\partial^{\alpha_d}x_d},\) 其中 \(|\alpha|=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_d.\)
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\(v_n \in \mathcal{D}(\Omega)\) 收敛于 \(v \in \mathcal{D}(\Omega)\) 是指 存在一个有界闭子集\(K\) 满足对任意一个 \(n\)，\(v_n\)在\(K\) 外均为0，且对任意非负指标 \(\alpha\), 导数 \(\mathcal{D}^{\alpha}v\) 一致收敛于\(\mathcal{D}^{\alpha}v.\)
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分布函数： \(\mathcal{D}(\Omega)\) 的对偶空间中的元素被称为分布函数. 换句话说, 分布就是\(\mathcal{D}(\Omega)\) 上的线性泛函，\(L \in \mathcal{D'}(\Omega)\) 且 \(\forall \,v \in \mathcal{D}(\Omega),\) \(L(v)=<L,\,v>\) \(dualiy \,\,pairing.\)
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\(\mathcal{D}(\Omega)\) 上的范数，\(||v||_k=\sup_{\Omega}|v(x)|, \, v \in\mathcal{D}(\Omega).\)(可以自己证明一下)*
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\({\color{Red}分布的导数}\): \(\mit L \in \mathcal D'(\Omega)\), \(\mit L\) 的 \(\alpha=(\alpha_1,\alpha_1,\cdots,\alpha_d)\) 阶导数定义如下：
\[\begin{align*} <D^{\alpha}\mit L，v>=(-1)^{|\alpha|}<\mit L,D^{\alpha}v>,\forall\, v\in\mathcal D(\Omega), D^{\alpha }v \in \mathcal D(\Omega) . \end{align*} \] -
定理1 ：
如果 \(\mit L\) 是 \(\mathcal D(\Omega)\) 上一个光滑的函数，则分布意义下的导数 \(D^{\alpha}\mit L\) 与经典意义下的导数是一致的，即 \(D^{\alpha}\mit L=\mit L^{(\alpha)}\).（证明思路利用分部积分)
实际上, 分布的导数就是经典导数的广义导数.
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例1 ：\(f(x)=|x|,x\in R\)， \(f\not\in C^{1}(R)，\) 虽然在经典导数意义下\(f'\) 在 \(x=0\) 处是没有定义的，但是我们却可以得到分布意义下的导数
\[D' f=\begin{cases}1 \,\,&x\,\ge0\\-1\,\,&x<0. \end{cases} \] -
例2：\(D^2f=D^{1}(D^{1}f)\), 对任意 \(v\in \mathcal D(R),\)
\[\begin{align*} <D^{1}(D^{1}f)>&=-<d^{1}f,D^{1}v>\\ &=-\int^{\infty}_{0}D^{1}vdx+\int^{0}_{-\infty}D^{1}vdx\\ &=v(0)+v(0)\\ &=2v(0). \end{align*} \]实际上，\(D^{2}f=\delta_0\), 其中 \(\delta_0\) 是 \(Dirac\) 函数，定义为 \(<\delta_0,v>=2v(0),\forall v\in \mathcal D(\Omega)\).
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重要结果：\(\mit L^{p}(\Omega) \subset \mathcal{D'}(\Omega)\), but $ \mathcal{D'}(\Omega) \not\subset \mit L^{p}(\Omega) ,,p\ge,1.$
* step 1 证明 $\forall L \in \mit L^{p}(\Omega) $ 是上的$\mathcal{D}(\Omega)$线性泛函；
- step 2 证明 \(L\) 是连续的，即证 \(|L(v)|\leq C||v||_{\mathcal{D}(\Omega)}.\)下面我们来证明：
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step3 证明 $ \mathcal{D'}(\Omega) \not\subset \mit L^{p}(\Omega) ,,p\ge,1.$
对任意 \(v\in \mathcal D(\Omega)\), \(<\delta_0,v>=v(0).\) 事实上, $\delta_0 $ 是\(\mathcal \,D(\Omega)\) 上的连续线性泛函，
假设$ \mathcal{D'}(\Omega) \subset \mit L^{p}(\Omega) ,,p\ge,1\(, 由\)Riesz$ 表示定理知，对任意一个 $v\in\mathcal D(\Omega) $, 存在
$w\in\mathcal{D'}(\Omega) $满足下列式子 \(\delta_0(v)=<w,v>=\int_{\Omega}w(x)v(x)dx\), 这显然不对，例如
取一个特殊的磨光函数 \(v_0\) ,它在 \(x=0\) 处取值无穷，在其它位置取值为0.
3. \(Sobolve\) 空间
\(Sobolve\) 空间 是后面学习变分问题以及各种边值问题的基础空间.
- \(Sobolve\) 空间:
- $ W^{k,p}_{(\Omega)}$上范数
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$ W^{k,p}_{(\Omega)}$ 上半范数
\[|v|_{k,p,\Omega}=|v|_{k,p}=(\sum_{|\alpha|= k}||D^{\alpha}v||^{p}_{\mit L^{p}})^{\frac{1}{p}} \] -
几种重要的特殊情况
\[\begin{align} d=1,\,\,\, \,W^{k,p}(I)&=\{ v\in\mit L^{p}(I)\big|D^{\alpha}v\in\mit L^{p}(I), \alpha=1,2,\cdots, k\}\\ p=2,\,\,\,\,\,H^{K}(\Omega)&=W^{k,p}(\Omega),\begin{cases} \mbox{范数}||v||_{k }=(\sum_{|\alpha|=k}||D^{\alpha}v||^{2}_0)^{\frac{1}{2}},\\ \mbox{半范数}||v||_{k }=(\sum_{|\alpha|=k}||D^{\alpha}v||^{2}_0)^{\frac{1}{2}} \end{cases}\\ k=0,\,\,\,W^{0,p}(\Omega)&=\mit L^{p}(\Omega). \end{align} \] -
\(W^{k,p}_{(\Omega)}\) 的闭包
