求一串数字中——和最大的连续子序列; 求一串数字差值的绝对值最小的两个数字
问题描述 :
从一组数字中,找出其所有连续子序列中,和数(子序列所有数字求和)最大的连续子序列:
如:数组 int A[ ] = {-4 , 3 , 5 , -1};找出某几个连续的子序列其和最大。比如A0+A1 = -1 。A1+A2+A3+A4 = 3。而A2+A3=8;则A2 A3组成的数组即是所求。
求解方法1:
先写我自己的方法,不是动态规划,复杂度大概是O(n*n);
1,二维数组ret[ ][ ];用上面的例子中数组A[ ]= {-4 , 3 , 5 , -1}为例:
~ -4 3 5 1
0 0 0 0 0 0 //为了方便计算,第0行第0列均设为0
1 0 -4 3 5 1 //第1行表示子串长度为1时,包含该位置元素的子序列和数
2 0 -1 8 6 //第2行表示子串长度为2时,包含该位置元素的子序列和数
3 0 4 9
4 0 5
其中,ret[i][j]位置的值为ret[i-1][j-1] + inp[j-1];
原理是,包含某个数x的子串长度为k的最大和数,等于x加上x之前的子串长度为k-1的最大和数;
即:上表中ret[4][5]=4,它是子序列长度为3,包含j=5处元素(即inp[4])的最大和数,是第5列以前的所有子序列长度为3-1=2的序列中,最大和数+该位的值:ret[3][4] + inp[4]=-1+5=4;
也就是说子序列长度为i的包含第j个位置的最大和数,是基于子序列长度为i-1的j前面的最大和数来求得的;
#include<stdlib.h> #include<stdio.h> #define MAX 100 int ret[MAX][MAX] = {{0}};//len+1行len+1列 int maxSubSeqSum(int inp[],int len){ int maxret = 0;//最大的顺序子串和的值 int i = 1;//第0行和第0列都为0 for(;i<len+1;i++){ int j=i; for(;j<len+1;j++){ ret[i][j] = ret[i-1][j-1] + inp[j-1]; //ret由于第0行第0列值都为0,所以inp需要j-1 if(ret[i][j] > maxret) maxret = ret[i][j]; printf("ret[%d][%d]=%d\n",i,j,ret[i][j]); } } return maxret; } int main(){ int input[] = {1,-1,4,-3,2}; int len = sizeof(input)/sizeof(int); int ret = maxSubSeqSum(input,len); printf("max sub sequence sum is:%d\n",ret); return 0; }
运行结果:
xu@xu-ThinkPad-X61:~/algorithm$ gcc maxSubSeqSum.c
xu@xu-ThinkPad-X61:~/algorithm$ ./a.out
ret[1][1]=1
ret[1][2]=-1
ret[1][3]=4
ret[1][4]=-3
ret[1][5]=2
ret[2][2]=0
ret[2][3]=3
ret[2][4]=1
ret[2][5]=-1
ret[3][3]=4
ret[3][4]=0
ret[3][5]=3
ret[4][4]=1
ret[4][5]=2
ret[5][5]=3
max sub sequence sum is:4
求解方法2:
1,递归公式:f(n)表示包含元素A(n)的最大子序列和,它的最大值,要么=A(n),要么=
A(n)+f(n-1);
2,复杂度为O(n);
#include<stdlib.h> #include<stdio.h> #define max(a,b) (a>b)?a:b int maxSubSeqSum(int inp[],int inplen){ int presum=*inp,ret=0,i=1;//ret为最大和,presum是f(n-1)的值 for(;i<inplen;i++){ presum += inp[i]; int tmpmax = max(presum,inp[i]); if(tmpmax > ret) ret=tmpmax; } return ret; } int main(){ int input[]={1,-1,4,-3,2}; int length = sizeof(input)/sizeof(int); int ret =maxSubSeqSum(input,length); printf("result is:%d\n",ret); return 0; }
xu@xu-ThinkPad-X61:~/algorithm$ ./a.out
result is:4
(回过头来看以前的代码,方法2其实不对,后续改进)
扫描算法(O(n))
1,递归公式:f(n)表示包含元素A(n)的规模为x[0…n]的问题。如何扩展为包含A(n+1)的规模为x[0…n+1]的问题f(n+1)?
2,我们用类似分治算法的原理:前i个元素中,最大总和子数组要么在前i个元素中,要么其结束位置为i+1;
举个例子:
int A[ ] = {-4 , 3 , 5 , -1};
tmp = { 0 , 3 , 8 , 7} 其中tmp = Max( tmp + A[i] , 0)
max = { 0 , 3 , 8 , 8} 其中max = Max(max, tmp);
tmp:从左往右扫描,第i位存的是包含第i位的最大子数组的和,如果和数小于0则存0;
max:从左往右扫描,第i位之前最大子数组的和,这个子数组可以不包含i;说白了就是第i位存i左侧所有tmp的最大值;
最终,max的最后一位8,即为和最大的连续子序列
下面看看代码:
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define max(a,b) a>b?a:b int fun(int A[],int n){ int i=1,maxret=0,tmp=max(A[0],0); for(;i<n;i++){ tmp=max(0,tmp+A[i]); maxret=max(maxret,tmp); printf("tmp=%d, maxret=%d\n",tmp,maxret); } return maxret; } int main(){ int A[] = {-2,7,1,-6,-2,9,2,-1}; int ret = fun(A,8); printf("%d\n",ret); return 0; }
[root@admin Desktop]# ./a.out tmp=7, maxret=7 tmp=8, maxret=8 tmp=2, maxret=8 tmp=0, maxret=8 tmp=9, maxret=9 tmp=11, maxret=11 tmp=10, maxret=11 11
方法3:
最简单的思路,遍历所有子序列,找出其中最大的;
int A[] = {31,-41,59,26,-53,58,97,-93,-23,84}; int fun(int A[], int n){ int max = 0,i = 0; for(i=0;i<n;i++){ int tmpsum = 0, j = 0; for(j=i;j<n;j++){ tmpsum += A[j]; if(tmpsum>max) max=tmpsum; } } return max; } void main(){ int ret = fun(A,10); printf("%d",ret); }
Output: 187
方法4:
分治算法解决方案:解决规模为n的问题,可以递归地解决规模近似为n/2的子问题,然后对答案进行合并,得到整个问题的答案;
把int A[] = {31,-41,59,26,-53,58,97,-93,-23,84};
分为:31,-41,59,26,-53,
58,97,-93,-23,84
两个子问题Sa,Sb;
现在,最大子向量必定在Sa,Sb或者跨越Sa和Sb之间边界的部位Sc;
我们分治递归Sa,Sb,并通过类似方法3的遍历的方式计算Sc;
代码如下:
#define Max(a,b,c) ((a>b?a:b)>c?(a>b?a:b):c) int A[] = {31,-41,59,26,-53,58,97,-93,-23,84}; //divide-and-conquer algorithm int fun(int A[], int low, int high){ int mid=(low+high)/2; int tmp=0,lret=0,rret=0,i=mid,j=mid+1; if(low>high) return 0; if(low == high) return Max(A[low],0,0); for(;i>=low;i--){ tmp+=A[i]; lret=Max(tmp,lret,0); } tmp=0; for(;j<=high;j++){ tmp+=A[j]; rret=Max(tmp,rret,0); } return Max(lret+rret,fun(A,low,mid),fun(A,mid+1,high)); } int main(){ int ret = fun(A,0,9); printf("%d",ret); }
Output:
187
问题2:
问题描述:
1.求一个串中差值最小的两个数;
2,比如{2,6,3,8,11} 差值最小的显然是2和3,差值绝对值为|2-3|=1;
问题解决:
1.就以A={2,6,3,8,11} 为例,相邻位逐位相减得到B={a0-a1,a1-a2,a2-a3,a3-a4}={-4,3,-5,-3}
2.如果我们相求a2-a4=3-11,我们只需要用B中b2+b3=(a2-a3)+(a3-a4)= a2-a4=-5-3=-8;
如果我们相求a0-a3=2-8,我们只需要用B中b0+b1+b2=(a0-a1)+(a1-a2)+(a2-a3)= -4+3-5=-6;
3.综上分析,求任意|a(i)- a(j)|的最小值,就是求数组B的和值绝对值最小的连续子序列(上一题是和值最大的连续子序列)与上一题相似;
4.代码与本文上一个算法类似,略;