【uoj261】 NOIP2016—天天爱跑步

http://uoj.ac/problem/261 (题目链接)

题意

　　给出一棵树，给出一些起点和终点，没走一条路径耗费时间1，每个节点上有一个权值w，问有多少条路径经过这个节点时所用的时间恰好是w。

Solution

　　转自：http://blog.csdn.net/haarmony/article/details/53259338

　　约定第${i}$个人起终点的${lca(s[i],t[i])}$为${lca[i]}$，点${i}$深度为${deep[i]}$

• 考虑可能对点${u}$有贡献的第${i}$个跑步者，${lca[i]}$肯定在${u}$或者${u}$上方，否则不经过${u}$点，即${lca[i]==u || lca[i]∉subtree[u]}$
• 基于此前提，只有两种情况（有重合部分）：${s[i]∈subtree[u]}$，${t[i]∈subtree[u]}$ 
  分类讨论能被${u}$看见的点${v}$的情况 
  　　1.${v}$为${i}$人起点${s[i]}$：${deep[s[i]]-w[u]==dep[u]}$ 
  　　2.${v}$为${i}$人终点${t[i]}$：${deep[s[i]]+deep[t[i]]-2*deep[lca[i]]-(deep[t[i]]-deep[u])==w[u]}$，即${deep[s[i]]-2*deep[lca[i]]==w[u]-deep[u]}$

　　我们发现如果做个变换，即${deep[u]+w[u]==deep[s[i]]}$

　　与${w[u]-deep[u]==deep[s[i]]-2*deep[lca[i]]}$的话，式子右边是不变的，那是不是可以开一个${cnt}$数组来统计一下子树中等于右式的出发点和结束点的个数呢？

• 考虑使用${cnt[2][600600]}$存储起点/终点的${deep[s[i]]}$/${deep[s[i]]-2*deep[lca[i]]}$等于${j}$的点的数量，保存在数组${cnt[0 or 1][j]}$中，那么当dfs中当前点到${u}$的时候，${ans[u]}$就可以从cnt数组中得到，特殊情况是：${u}$为第${i}$人的lca时可能导致${s[i]}$与${t[i]}$各对${ans[u]}$贡献一次，所以式子如下
• ${ans[u]=cnt[0][dep[u]+w[u]]+cnt[0][w[u]-dep[u]]-重复部分}$。两下标为上面两个等式的左式，需要注意的是${dep[s[i]]-2*dep[lca[i]]}$有可能是负数，下标可以统一+300000处理成正数（否则挂成50分）。其中重复部分可以在消除lca标记的时候判掉。
• 维护cnt数组的方式容易想到就是在${s[i],t[i],lca[i]}$上打标记，若当前点为${s[i]}$就计入${cnt[0][dep[s[i]]]}$，${t[i]}$同理，${lca[i]}$就把两个标记再退出去
• 然而如果对于每颗子树建立一个cnt，再把cnt合并的话，复杂度是n^2的。于是发现搜到以v为根的子树时后，对v贡献的只有两个下标，那么在搜索点v前，传两个参数a,b记录一下原来的cnt两个值，dfs(v,a,b)时${ans[v]-=a+b}$即可

细节

　　细节很多，想清楚再写。

代码

// uoj261
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define inf 2147483640
#define LL long long
#define Pi acos(-1.0)
#define free(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout)
using namespace std;

const int T=300000,maxn=300010;
struct edge {int to,next;}e[maxn<<1],g[maxn],ct[maxn];
int cnt[2][10000010],h[maxn],hh[maxn],head[maxn];
int deep[maxn],fa[maxn][30],bin[30],Lca[maxn];
int n,m,c1,c2,c3,ans[maxn],cs[maxn],w[maxn],s[maxn],t[maxn];

void linke(int u,int v) {
	e[++c1].to=v;e[c1].next=head[u];head[u]=c1;
	e[++c1].to=u;e[c1].next=head[v];head[v]=c1;
}
void linkg(int u,int v) {g[++c2].to=v;g[c2].next=h[u];h[u]=c2;}
void linkt(int u,int v) {ct[++c3].to=v;ct[c3].next=hh[u];hh[u]=c3;}

void dfs(int x) {
	for (int i=1;i<=20;i++) fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
	for (int i=head[x];i;i=e[i].next) if (e[i].to!=fa[x][0]) {
			fa[e[i].to][0]=x;
			deep[e[i].to]=deep[x]+1;
			dfs(e[i].to);
		}
}
int lca(int x,int y) {
	if (deep[x]<deep[y]) swap(x,y);
	int t=deep[x]-deep[y];
	for (int i=0;bin[i]<=t;i++) if (bin[i]&t) x=fa[x][i];
	for (int i=20;i>=0;i--) if (fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i];
	return x==y ? x : fa[x][0];
}
void dfs(int x,int ta,int tb) {
	for (int j,i=head[x];i;i=e[i].next) if (e[i].to!=fa[x][0]) {
			j=e[i].to;
			dfs(j,cnt[0][w[j]+deep[j]+T],cnt[1][w[j]-deep[j]+T]);
		}
	cnt[0][deep[x]+T]+=cs[x];
	for (int j,i=hh[x];i;i=ct[i].next) {
		j=ct[i].to;
		cnt[1][deep[s[j]]-deep[Lca[j]]*2+T]++;
	}
	ans[x]+=cnt[0][w[x]+deep[x]+T]+cnt[1][w[x]-deep[x]+T]-ta-tb;
	for (int j,i=h[x];i;i=g[i].next) {
		j=g[i].to;
		if (w[x]+deep[x]==deep[s[j]]) ans[x]--;
		cnt[0][deep[s[j]]+T]--;cnt[1][deep[s[i]]-2*deep[x]+T]--;
	}
}
int main() {
	bin[0]=1;for (int i=1;i<=20;i++) bin[i]=bin[i-1]<<1;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int u,v,i=1;i<n;i++) {
		scanf("%d%d",&u,&v);
		linke(u,v);
	}
	dfs(1);
	for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]);
	for (int i=1;i<=m;i++) {
		scanf("%d%d",&s[i],&t[i]);
		Lca[i]=lca(s[i],t[i]);cs[s[i]]++;
		linkg(Lca[i],i);
		linkt(t[i],i);
	}
	dfs(1,0,0);
	for (int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",ans[i]);
	return 0;
}

---

Solution

　　树链剖分维护启发式合并来一发。

代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cmath>
#define LL long long
#define inf (1ll<<30)
#define free(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout)
using namespace std;

const int maxn=300010,rem=300000;
int cnt,n,m,ans[maxn],W[maxn];
int son[maxn],fa[maxn][30],bin[maxn],head[maxn],size[maxn],deep[maxn];
int c[maxn<<2];
struct edge {int to,next;}e[maxn<<1];
vector<pair<int,int> >v[maxn];

void link(int u,int v) {
	e[++cnt]=(edge){v,head[u]};head[u]=cnt;
	e[++cnt]=(edge){u,head[v]};head[v]=cnt;
}
void dfs(int x) {
	size[x]=1;
	for (int i=1;i<=20;i++) fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
	for (int i=head[x];i;i=e[i].next) if (e[i].to!=fa[x][0]) {
			fa[e[i].to][0]=x;
			deep[e[i].to]=deep[x]+1;
			dfs(e[i].to);
			size[x]+=size[e[i].to];
			if (size[son[x]]<size[e[i].to]) son[x]=e[i].to;
		}
}
int lca(int x,int y) {
	if (deep[x]<deep[y]) swap(x,y);
	int t=deep[x]-deep[y];
	for (int i=0;bin[i]<=t;i++) if (t&bin[i]) x=fa[x][i];
	for (int i=20;i>=0;i--) if (fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i];
	return x==y ? x : fa[x][0];
}
void modify(int x,int val) {
	for (int j=v[x].size(),i=0;i<j;i++)
		c[v[x][i].first+rem]+=v[x][i].second*val;
	for (int i=head[x];i;i=e[i].next)
		if (e[i].to!=fa[x][0]) modify(e[i].to,val);
}
void dfs(int x,int tp) {
	for (int i=head[x];i;i=e[i].next)
		if (e[i].to!=son[x] && e[i].to!=fa[x][0]) dfs(e[i].to,0);
	if (son[x]) dfs(son[x],1);
	for (int i=head[x];i;i=e[i].next)
		if (e[i].to!=son[x] && e[i].to!=fa[x][0]) modify(e[i].to,1);
	ans[x]+=c[deep[x]+W[x]+rem];
	for (int j=v[x].size(),i=0;i<j;i++) c[v[x][i].first+rem]+=v[x][i].second;
	ans[x]+=c[deep[x]-W[x]+rem];
	if (!tp) modify(x,-1);
}

int main() {
	bin[0]=1;for (int i=1;i<=20;i++) bin[i]=bin[i-1]<<1;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int x,y,i=1;i<n;i++) {
		scanf("%d%d",&x,&y);
		link(x,y);
	}
	dfs(1);
	for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&W[i]);
	for (int a,b,i=1;i<=m;i++) {
		scanf("%d%d",&a,&b);int f=lca(a,b);
		if (a==b && W[a]==0) ans[a]++;  //pay attention
		v[a].push_back(pair<int,int>(deep[a],1));
		v[b].push_back(pair<int,int>(2*deep[f]-deep[a],1));
		v[f].push_back(pair<int,int>(deep[a],-1));
		v[f].push_back(pair<int,int>(2*deep[f]-deep[a],-1));
	}
	dfs(1,0);
	for (int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",ans[i]);
	return 0;
}