【bzoj1951】 Sdoi2010—古代猪文
http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1951 (题目链接)
题意
废话一堆。。求解:$$g^{\sum_{d|n} C_n^d}~mod~p$$
Solution
真的是数论经典题,什么都用上了。
因为费马小定理,每$p-1$个$g$相乘会得到$1$,那么容易得到:
\begin{aligned} \displaystyle ans &= g^{\sum_{d|n} C_n^d}~mod~p \\ &=g^{\sum_{d|n} C_n^d~mod~(p-1)}~mod~p \end{aligned}
所以现在关键是求:$$\sum_{d|n} C_n^d~mod~(p-1)$$
大组合数取模,Lucas定理,可是$p-1$并不是一个质数,怎么办呢。我们考虑用中国剩余定理,先将$p-1$质因数分解,再分别在模各个质因子的的条件下求出余数,最后用中国剩余定理合并得解。
代码
// bzoj1951 #include<algorithm> #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<cstdio> #include<cmath> #include<queue> #define P 999911659 #define inf 2147483640 #define LL long long #define free(a) freopen(a".in","r",stdin);freopen(a".out","w",stdout); using namespace std; int t[4]={2,3,4679,35617}; int n,g,r[4],fac[4][100010]; int power(LL a,int b,LL c) { a%=c; LL res=1; while (b) { if (b&1) res=res*a%c; b>>=1;a=a*a%c; } return res; } int C(int n,int m,int p) { if (m<n) return 0; return (LL)(fac[p][m]*power((LL)fac[p][n]*fac[p][m-n],t[p]-2,t[p]))%t[p]; } int Lucas(int n,int m,int p) { if (m==0) return 1; return C(n%t[p],m%t[p],p)*Lucas(n/t[p],m/t[p],p)%t[p]; } void exgcd(int a,int b,LL &x,LL &y) { if (b==0) {x=1,y=0;return;} exgcd(b,a%b,y,x); y-=a/b*x; } int CRT() { LL x,y,M=t[0],R=r[0]; for (int i=1;i<4;i++) { int mm=t[i],rr=r[i]; exgcd(M,mm,x,y); x=((rr-R)*x%mm+mm)%mm; R+=M*x; M*=mm; } return R; } int main() { free("aaa"); scanf("%d%d",&n,&g); if (g==P) {printf("0");return 0;} for (int i=0;i<4;i++) { fac[i][0]=1; for (int j=1;j<=t[i];j++) fac[i][j]=fac[i][j-1]*j%t[i]; } for (int i=0;i<4;i++) for (int j=1;j*j<=n;j++) if (n%j==0) { r[i]=(r[i]+Lucas(j,n,i))%t[i]; if (j*j!=n) r[i]=(r[i]+Lucas(n/j,n,i))%t[i]; } printf("%d",power(g,CRT(),P)); fclose(stdin);fclose(stdout); return 0; }
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