【bzoj2809】 Apio2012—dispatching
http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2809 (题目链接)
题意
给出一棵树,每个节点有两个权值${c}$,${L}$,分别代表花费和领导力,在树中找到一个点${i}$,并且找到这个点子树中的一些点组成一个集合,使得集合中的所有点的${c}$之和不超过${M}$,且${L[i]*集合中元素个数和}$最大。
Solution
听说这道题正解是可并堆,可是并不会做,我们考虑换一种方法。正好最近才学了莫队算法,于是脑洞大开,似乎找到了方法——莫队+分块,是不是很神。
首先,我们将树上节点按dfs序排序,得到一串序列${S}$,将子树询问转换为在${S}$上的区间询问,总共${n}$棵子树,所以也就只有${n}$个询问,可以承受。
然后我们发现,对于单一节点来说,“使得集合中的所有点的${c}$之和不超过${M}$,且${Li*集合中元素个数和最大}$”可以贪心,也就是尽量选取${c}$小的节点加入集合。于是我们想到了对权值${c}$离散化后进行分块(注意是权值${c}$而不是序列${S}$),对于无修改区间查询用莫队进行转移,权值分块的修改是${O(1)}$的,查询是${O(\sqrt{n})}$的,复杂度仍是${O(n*\sqrt{n})}$。
接下来就是细节问题。我们先dfs一遍求出dfs序以及区间之后对区间排序(以左端点所在块作为第一关键字,右端点作为第二关键字),之后对树上的节点按照${C}$的大小排序,求出${C}$的值域记录在${ma[]}$数组中,并用${p}$数组记录离散化后当前节点的编号。对${C}$的值域建块。
如何插入,删除和询问呢?对于插入和删除,我们用一个数组${b[x]}$来记录在${C}$为${x}$的节点有几个在当前询问中,用${cnts[x]}$来记录${x}$所在的块中有几个节点在当前询问中,用${sumv[x]}$来记录${x}$所在的块中当前的所有${C}$的和。
有了这三个数组询问就很好做了。
记得我在糖果公园里面写过:莫队中的分块只是用来保证复杂度,而这里把dfs序抠出来在变成序列上的莫队不是复杂度不对吗?其实不是这样的,糖果公园那道题查询的是树上路径,而这里查询的是子树,两者不是一个东西,这两种询问的范围也不一样。所以这里直接将dfs序抠出来是可以的。
细节
注意莫队的块与权值分块的区别,别搞混了。
代码
// bzoj2120 #include<algorithm> #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<cstdio> #include<cmath> #include<vector> #define MOD 1000000007 #define inf 2147483640 #define LL long long #define free(a) freopen(a".in","r",stdin);freopen(a".out","w",stdout); using namespace std; inline LL getint() { LL x=0,f=1;char ch=getchar(); while (ch>'9' || ch<'0') {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();} while (ch>='0' && ch<='9') {x=x*10+ch-'0';ch=getchar();} return x*f; } const int maxn=100010; struct edge {int next,to;}e[maxn<<2]; struct interval {int l,r,id,L;}t[maxn]; struct data {int dfn,c,l;}a[maxn]; int n,m,M,cnt,mo_block,chunk_block; int L[maxn],head[maxn],cnts[maxn],pos[maxn],sumv[maxn],b[maxn],ma[maxn],p[maxn]; void insert(int u,int v) { e[++cnt].to=v;e[cnt].next=head[u];head[u]=cnt; } void dfs(int u) { t[u].l=a[u].dfn=++cnt; for (int i=head[u];i;i=e[i].next) dfs(e[i].to); t[u].r=cnt;t[u].id=u;t[u].L=a[u].l; } bool ccmp(data a,data b) { return a.c<b.c; } bool poscmp(interval a,interval b) { return pos[a.l]==pos[b.l]?a.r<b.r:pos[a.l]<pos[b.l]; } void Mo_build() { mo_block=(int)sqrt(n); for (int i=1;i<=n;i++) pos[i]=(i-1)/mo_block+1; } void chunk_build() { chunk_block=(int)sqrt(cnt); m=(cnt%chunk_block>0) ? cnt/chunk_block+1 : cnt/chunk_block; for (int i=1;i<=cnt;i++) pos[i]=(i-1)/chunk_block+1; for (int i=1;i<=m;i++) L[i]=(i-1)*chunk_block+1; } void update(int x,int val) { b[x]+=val; cnts[pos[x]]+=val; sumv[pos[x]]+=(LL)val*ma[x]; } int query() { LL tot=0;int ans=0; for (int i=1;i<=m;i++) { tot+=sumv[i];ans+=cnts[i]; if (tot>M) { tot-=sumv[i];ans-=cnts[i]; for (int j=L[i];;j++) { tot+=(LL)ma[j]*b[j]; ans+=b[j]; if (tot>M) return ans-(int)(tot-M)/ma[j]-((tot-M)%ma[j]!=0); } } } return ans; } int main() { scanf("%d%d",&n,&M); for (int i=1;i<=n;i++) { int x; scanf("%d%d%d",&x,&a[i].c,&a[i].l); insert(x,i); } cnt=0; dfs(e[head[0]].to); Mo_build(); sort(t+1,t+1+n,poscmp); for (int i=1;i<=n;i++) pos[i]=0; sort(a+1,a+1+n,ccmp); cnt=0;ma[p[a[1].dfn]=++cnt]=a[1].c; for (int i=2;i<=n;i++) { if (a[i].c!=a[i-1].c) cnt++; ma[p[a[i].dfn]=cnt]=a[i].c; } LL ans=0; chunk_build(); for (int l=1,r=0,i=1;i<=n;i++) { for (;r<t[i].r;r++) update(p[r+1],1); for (;r>t[i].r;r--) update(p[r],-1); for (;l<t[i].l;l++) update(p[l],-1); for (;l>t[i].l;l--) update(p[l-1],1); ans=max(ans,(LL)query()*t[i].L); } printf("%lld\n",ans); return 0; }
UPD 2017.1.9
Solution
可并堆。
对于每个节点建立一个大根堆,如果堆中所有元素之和大于M,那么pop堆顶。每次dfs合并当前节点的堆与儿子节点的堆。
代码
// bzoj2809 #include<algorithm> #include<iostream> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<cstdio> #include<cmath> #include<ctime> #define LL long long #define inf 1<<30 #define Pi acos(-1.0) #define free(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout); using namespace std; const int maxn=100010; struct edge {int to,next;}e[maxn]; struct heap {int val,l,r;}q[maxn]; int head[maxn],cnt,sz,m,n; int size[maxn],C[maxn],rt[maxn]; LL L[maxn],sum[maxn],ans; void link(int u,int v) { e[++cnt]=(edge){v,head[u]};head[u]=cnt; } int merge(int x,int y) { if (x==0 || y==0) return x+y; if (q[x].val<q[y].val) swap(x,y); q[x].r=merge(q[x].r,y); swap(q[x].l,q[x].r); return x; } int pop(int x) { return merge(q[x].l,q[x].r); } void dfs(int x) { rt[x]=++sz;size[x]=1; q[sz].val=sum[x]=C[x]; for (int i=head[x];i;i=e[i].next) { dfs(e[i].to); sum[x]+=sum[e[i].to]; size[x]+=size[e[i].to]; rt[x]=merge(rt[x],rt[e[i].to]); } while (sum[x]>m) { sum[x]-=q[rt[x]].val; rt[x]=pop(rt[x]); size[x]--; } ans=max(ans,size[x]*L[x]); } int main() { scanf("%d%d",&n,&m); for (int x,i=1;i<=n;i++) { scanf("%d",&x); link(x,i); scanf("%d%lld",&C[i],&L[i]); } dfs(1); printf("%lld",ans); return 0; }