扩展欧几里得算法学习笔记

　　扩展欧几里得算法是用来求解类似于： ${ax+by=gcd(a,b)}$在${mod~n}$意义下的不定方程的解${x,y}$的算法。

　　这鬼里鬼气的算法我学了很久，一直都是似懂非懂，只知道写代码而不知道其精髓，在膜拜了网上无数的博客后终于是明白了。

　　我们用扩展欧几里得算法来计算形如：${ax+by=c}$的不定方程的${x}$和${y}$。

　　我们都知道可以用欧几里得算法求解${gcd(a,b)}$，也就是${gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)}$，而扩展欧几里得算法就是基于它来进行计算的。

　　我们先考虑如何求解${ax+by=gcd(a,b)}$。$$ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,a\% b)$$

$$bx'+(a\% b)y'=gcd(b,a\% b)$$

$$ax+by=bx'+(a\% b)y'$$

$$ax+by=bx'+(a-\lfloor a/b \rfloor*b)y'$$

$$ax+by=ay'+b(x'-\lfloor a/b \rfloor *y')$$

$$\therefore x=y',y=x'-\lfloor a/b \rfloor *y'$$

　　因为${gcd(a,b)}$在${b=0}$时就会回溯出解，所以我们可以递归求解${ax+by=gcd(a,b)}$，复杂度$lg~n$。

　　接下来进入正题，如何求解：${ax+by=c}$。$$ax+by=c$$

$$ax'+by'=gcd(a,b)=d$$

　　我们${ax+by=c}$两边同除${d}$：$$\frac{a}{d}x+\frac{b}{d}y=\frac{c}{d}$$

　　由于${d=gcd(a,b)}$，所以${a/d}$和${b/d}$都是整数，若${c}$不能整除${d}$的话，那么方程无解。

　　将2式两边同时乘上${c/d}$，将右侧的${d}$化为${c}$： $$a*\frac{c}{d}*x'+b*\frac{c}{d}*y'=c$$

　　于是我们就求出了${x}$和${y}$的一组解（注意这里的${x_0}$和${y_0}$都有可能是$<0$的）：$$x_0=\frac{c}{d}*x',y_0=\frac{c}{d}*y'$$

　　可是对于一些数论问题，它会要求求出的${x}$的最小的正整数，这怎么办呢。我们先将${x}$和${y}$的解集求出来，还是上面那个式子，两边同时除以${c}$：$$\frac{a}{d}*x'+\frac{b}{d}*y'=1$$

　　在这里我们引入一个变量${k}$，原式可以写成：$$(x'+k*\frac{b}{d})*\frac{a}{d}+(y'-k*\frac{a}{d})*\frac{b}{d}=1$$

　　这样做有什么好处呢，其实我们已经可以表示出${x,y}$的通解了，将方程两边同时乘上${c}$：$$x=(x'+k*\frac{b}{d})*\frac{c}{d},y=(y'-k*\frac{a}{d})*\frac{c}{d}$$

　　将${x}$变形一下：

\begin{aligned}  x&=(x'~mod~\frac{b}{d}+\frac{b}{d}*\lfloor\frac{x'}{b/d}\rfloor+k*\frac{b}{d})*\frac{c}{d}  \\  &=\lgroup x'~mod~\frac{b}{d}+\frac{b}{d}*(k+\lfloor\frac{x'}{b/d}\rfloor)\rgroup*\frac{c}{d}  \end{aligned}

　　因为${b/d}$为正数，所以里面的值随着${k}$的增大而增大，所以我们不妨令：$$k=-\lfloor \frac{x'}{b/d} \rfloor$$

　　这样一来，求出来的${x}$就是最小正整数了：$$x=(x'~mod~\frac{b}{d})*\frac{c}{d}$$

　　因为${x’}$求出来可能是负的所以最后还要做点处理，${x}$最后的的表达式：$$x=(x'*\frac{c}{d}\%\frac{b}{d}+\frac{b}{d})\%\frac{b}{d}$$