poj 1150 The Last Non-zero Digit

http://poj.org/problem?id=1150

　　一道题意相当简单的数论题，求P(n,m)的最后一个非零位的数字，其中0≤m≤n≤2*10^7。直接暴力大数运算是会超时的，这里要用到一些数论的知识。

　　引用一下wyh师兄的解释：http://www.cppblog.com/wyh123/archive/2011/08/06/152621.html

　　排列公式：P(n,m)=n!/(n-m)!

　　将一个数2和5的因子都分离出来，最后这个数就会变成个位是1,3,7,9的数。其中，个位是1的数不会影响到最后一位非零数字。于是，我们就要统计那个区间内，将2和5两种因子的数去掉以后的那些数的最后一位是3,7,9的个数。统计的时候有个技巧，需要观察到，每十个数以内末数字是3,7,9在没有除去2和5两种因子前都只会出现一次。然后我打了个表出来观察，发现除去2和5的操作，实际上就是从原数列中抽出2和5的倍数来出以2和5。除了一次2或5以后，抽出来的序列又变成了从1~n/2或n/5的连续整数了。继续递归下去，从而统计出末数字是3,7,9的数在该区间中的个数。

　　不过分别处理除2和除5的时候，10的倍数的数会被除去两次，这时就要用容斥定理来补回10的倍数的数了，所以就得到下面的程序。

　　如果没有预处理小数据的情况，每次计算最多将递归计算10^6以上，但是如果把小数据先处理了，那么每次查询的时候就可以只用不到10^3就可以查询到一组数据了。

代码如下：

#include <cstdio>

const int maxn = 200000;
int tmp[maxn][10];

void pre() {
    for (int i = 1; i < maxn; i++) {
        int t = i;

        while (t % 2 == 0) t /= 2;
        while (t % 5 == 0) t /= 5;
        for (int j = 0; j < 10; j++) {
            tmp[i][j] = tmp[i - 1][j];
        }
        tmp[i][t % 10]++;
    }
}

int cal(int n, int k) {
//    printf("cal!!! %d %d\n", n, k);
    if (n < maxn) return tmp[n][k];
    else return n / 10 + cal(n / 2, k) + cal(n / 5, k) + (n % 10 >= k) - cal(n / 10, k);
}

int deal(int n) {
    int ret1 = 0, ret2 = 0;
    int t = n;

    while (t) {
        ret1 += t >> 1;
        t >>= 1;
    }
    while (n) {
        ret2 += n / 5;
        n /= 5;
    }
//    printf("ret1 %d   ret2 %d\n", ret1, ret2);
//    puts("!!!");

    return ret1 - ret2;
}

int main() {
    int cnt3, cnt7, cnt9, cnt2;
    int n, m;

    pre();
    while (~scanf("%d%d", &n, &m)) {
        if (m == 0){
            puts("1");
            continue;
        }

//        puts("~~~");
        m = n - m;
//        printf("n %d  m %d\n", n, m);

        cnt3 = (cal(n, 3) - cal(m, 3)) & 3;
//        puts("~~~1");
        cnt7 = (cal(n, 7) - cal(m, 7)) & 3;
//        puts("~~~2");
        cnt9 = (cal(n, 9) - cal(m, 9)) & 1;
//        puts("~~~~~~~");
        cnt2 = deal(n) - deal(m);
        if (cnt2) cnt2 = (cnt2 - 1) % 4 + 1;
//        printf("%d %d %d %d\n", cnt3, cnt7, cnt9, cnt2);

        int ans = 1;

        while (cnt3--) {
            ans *= 3;
        }
        while (cnt7--) {
            ans *= 7;
        }
        while (cnt9--) {
            ans *= 9;
        }
        if (cnt2 > 0) {
            while (cnt2--) {
                ans <<= 1;
            }
        } else {
            while (cnt2++) {
                ans *= 5;
            }
        }
        ans %= 10;

        printf("%d\n", ans);
    }

    return 0;
}

 

——written by Lyon