【杂题总汇】HDU-6406 Taotao Picks Apples
【HDU 6406】Taotao Picks Apples
多校赛的时候多写了一行代码就WA了……找了正解对拍，在比赛结束后17分钟AC了😭
◇ 题目 +传送门+
<手写翻译>
有n个苹果按顺序排列，每个苹果都有一个高度 hi。由于陶陶有一种奇怪的癖好，他希望按照给出的顺序（输入顺序）摘苹果，且每一次摘的苹果的高度都严格大于上一次摘的苹果的高度。
神奇的是这棵树上的苹果会移动，能够改变其中一个苹果的高度，求改变后陶陶最多能够摘多少个苹果。
<输入输出>
第一行包含整数T不超过10，表示总共T组数据。
每组数据的第一行包含数n,m，表示树上共n个苹果，将会有m组小测试。接下来一行包含n个整数，表示每个苹果的高度，而陶陶也会按照这个顺序摘苹果。接下来的m行描述了一个小测试，包含p,q，表示第p个苹果移动到q的高度。
对于每一组小测试输出陶陶最多能够摘多少苹果。
<样例&解释>
Input | Output | 解释
1 | 1 | （1）5 2 3 4 4，陶陶摘了第一个苹果后就不能摘了，后面没有比5高的苹果；
5 3 | 5 | （2）1 2 3 4 5，陶陶可以摘完所有苹果；
1 2 3 4 4 | 3 | （3）1 3 3 4 4，陶陶可以摘第一、二、四个苹果；
1 5 | |
5 5 | |
2 3 | |
◇ 解析
先点出这道题所有的算法：单调栈，莫队，二分查找。（据说有一种DP的方法，但我还没有了解……🙃）
为了方便讲解，这里把变量声明一下：
①未更改高度时，陶陶可以摘的苹果的高度集合为 seq2[]，可以摘的苹果的编号（输入顺序）的集合为 seq1[]，可以摘的苹果的数量为 nseq，苹果的高度的集合为A[]，前i个苹果中可以摘的苹果的个数 val[]。【注意到这里seq1[i]和seq2[i]是一一对应的，即都描述的是第i个苹果】
②单调栈为 sta[]，单调栈的栈顶编号为 beg。
③询问存储在结构体 QUERY 里，包含更改的苹果的编号 pos，更改后苹果高度 num，询问的编号（按输入顺序） id，第i次询问的回答 ans[]。
（1）莫队算法
改变输入顺序使计算速度增快或减少重复计算以简化代码难度。
这道题对莫队的运用还是很巧妙的。首先我们会发现，假设我们更改第i个苹果的高度，i及其之前陶陶能够摘的苹果数量为 res，分两种情况：
①i=seq1[j]：此时若 i 修改后的高度小于等于 seq2[j-1]，则res会相对减少1（因为i不能够摘了）；若修改后高度大于seq2[j-1]，则 res 不变。
②i不属于seq1：seq1[k]是seq1中小于 i 的最大元素，即在i之前最接近i的陶陶能够摘的苹果，当 修改后的高度小于等于 seq2[k] ，则 res 不变（因为虽然不能取i，但seq1[1~k]仍然可以摘）；当修改后的高度大于 seq2[k]，则res增加1，因为除去原来可以摘的seq1[1~k]，还可以摘i。
举一个简单的例子，方便理解😐：
所以只要预处理出seq1，seq2以及val，就可以比较方便地算出修改第i个苹果高度后i及其之前的苹果陶陶能够摘得的个数。
唯一难处理的是修改后，i后面可以摘的苹果的数量。这需要知道i后面的一个以大于i的高度的苹果开头的单调上升的序列。为方便求得这个序列，我们需要修改一下查询的顺序——从后向前。这样就可以利用单调栈不断地向栈里增减元素实现了。
（2）单调栈
从后往前依次将A[i]放入单调栈内，使单调栈内从顶到底为单调上升，若栈顶小于等于A[i]，则删除栈顶，直到栈空或栈顶大于A[i]，再放入A[i]。这一部分可以用二分查找（由于这里的栈是单调的），找到小于等于A[i]的第一个元素，修改其为A[i]，并修改栈顶为当前位置。
（3）整体解法（reader们之前的看懂了吗？）
一边输入A[i]，一边判断若seq2[]的末尾元素小于A[i]，则更新seq1[]和seq2[]，并增加nseq，同时更新val[i]为nseq（其实nseq就是陶陶摘得苹果的个数），如下：
for(int i=1,last=-1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&A[i]);
if(last<A[i])
seq1[++nseq]=i,seq2[nseq]=A[i],last=A[i];
val[i]=nseq;
}
将询问存储到QUERY结构体中，按照pos（修改的苹果位置）从后往前排序。
接下来从后向前（n~1）枚举 i ，若没有询问要修改位置i，则修改单调栈，用二分查找的方法找到单调栈中小于等于A[i]的最大元素的位置pos，更新其为A[i]，更新栈顶beg为pos。
if(sta[beg]>A[I]) {sta[--beg]=A[I--];continue;} //栈顶比A[i]大，直接将A[i]放入栈顶
int pos=Find(sta,beg,n,A[I]); //二分查找找到pos
sta[pos]=A[I--];beg=pos; //更新栈顶
若有询问修改位置i，则先处理询问，再将A[i]放入单调栈。
为了方便修改，我们利用C++的引用，将 res 引用为当前问题的答案，初值赋为0。
在seq1中找到小于等于i的最大的元素的位置为left。若seq1[nseq]（陶陶摘的最后一个苹果的位置）大于i，则直接将left赋值为nseq，否则二分查找找到left（lower_bound好像有点问题，不太会用）。若seq1[left]=i，则i原本就属于seq1，此时将left--，找到seq1的上一个元素。说明i之前（不包含i）陶陶能够摘left个苹果，将res+=left。当修改值为seq2[left-1]，则说明i也能够摘，此时res++，否则将修改值改为seq2[left-1]。在单调栈中用二分查找找到大于修改值的元素的个数，如下：
if(qry[Q].num<sta[beg]) res+=n-beg+1;
//若栈顶大于修改值，则整个栈都大于修改值（单调上升），所以答案增加栈的长度（栈范围是beg~n）
else
if(sta[n]>qry[Q].num) //栈底大于修改值，确保有解
{
int right=Find(sta,beg,n,qry[Q].num); //找到小于等于修改值的元素的位置
res+=n-right; //剩余的都是大于修改值的
}
最后输出答案就可以了……
感觉讲不太清楚😕真是抱歉……还是看代码吧……
◇ 源代码
/*Lucky_Glass*/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=int(1e5);
int T,n,q; //数据组数，苹果个数，修改次数
int A[MAXN+5]; //原来苹果的高度
int seq1[MAXN+5],seq2[MAXN+5],nseq; //描述不修改时陶陶摘的苹果，nseq为个数，seq1,seq2方便描述陶陶摘的是第几个苹果、该苹果的高度
int val[MAXN+5]; //val[i]：在1~i个苹果中陶陶摘的苹果的个数
int sta[MAXN+5],beg; //单调栈，栈顶为beg，栈的范围在 beg~n
int ans[MAXN+5]; //ans[i] 第i个询问的答案
struct QUERY{ //查询
int pos,num,id; //pos:修改苹果的位置，num:修改后高度，id:未排序（莫队）前是第几个询问
}qry[MAXN+5];
bool cmp(QUERY A,QUERY B){return A.pos>B.pos;} //按照修改苹果位置从后到前排序
int Find(int *GG,int l,int r,int x){ //二分查找，查找数组GG(QwQ)中从l~r里小于等于x的最大元素（返回其在GG中的位置）
if(GG[r]<=x) return r; //r是访问不到的，先特殊处理
while(l+1<r)
{
int mid=(l+r)>>1;
if(GG[mid]<=x) l=mid;
else r=mid;
}
return l;
}
int main(){
//freopen("in.txt","r",stdin);
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
nseq=0;beg=n; //初始化……
memset(qry,0,sizeof qry);
memset(seq1,0,sizeof seq1);
memset(seq2,0,sizeof seq2);
memset(sta,0,sizeof sta);
memset(val,0,sizeof val);
memset(ans,0,sizeof ans);
memset(A,0,sizeof A);
scanf("%d%d",&n,&q);
for(int i=1,last=-1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&A[i]);
if(last<A[i]) //当前苹果高于上一个摘的苹果，可摘
seq1[++nseq]=i,seq2[nseq]=A[i],last=A[i]; //更新陶陶摘得的苹果
val[i]=nseq; //存储1~i的答案
}
for(int i=1;i<=q;i++)
scanf("%d%d",&qry[i].pos,&qry[i].num),qry[i].id=i; //读入询问
seq2[0]==int(-1e9);seq1[0]=0; //小技巧，使得第一个苹果之前的高度永远小于它
seq2[nseq+1]=seq1[nseq+1]=int(1e9); //使得最后一个苹果之后的高度永远最大（两个都是虚拟苹果）
sort(qry+1,qry+1+q,cmp); //莫队
for(int I=n,Q=1;I>=1;) //从后至前枚举苹果
{
if(qry[Q].pos==I) //对第i个苹果有修改
{
int &res=ans[qry[Q].id]; //引用，简化代码
res=0; //清空
int left; //1~i的苹果中陶陶最后摘的是第几个苹果
if(seq1[nseq]<qry[Q].pos) //若修改的苹果在陶陶最后摘的苹果的后面
left=nseq; //直接赋值为陶陶摘的最后一个苹果
else
left=Find(seq1,0,nseq,I); //二分查找
if(seq1[left]==I) left--; //若找到的是当前苹果，则找到上一个
res=left; //更新答案
if(seq2[left]<qry[Q].num) res++; //第i个苹果修改后可以摘
else qry[Q].num=seq2[left]; //不能摘，将修改值改为上一个摘的苹果的高度（实质是存储了1~i的苹果中陶陶最后摘的苹果的高度）
if(qry[Q].num<sta[beg]) res+=n-beg+1;
//若栈顶大于修改值，则整个栈都大于修改值（单调上升），所以答案增加栈的长度（栈范围是beg~n）
else
if(sta[n]>qry[Q].num) //栈底大于修改值，确保有解
{
int right=Find(sta,beg,n,qry[Q].num); //找到小于等于修改值的元素的位置
res+=n-right; //剩余的都是大于修改值的
}
Q++;
}
else
{
if(sta[beg]>A[I]) {sta[--beg]=A[I--];continue;} //栈顶比A[i]大，直接将A[i]放入栈顶
int pos=Find(sta,beg,n,A[I]); //二分查找找到pos
sta[pos]=A[I--];beg=pos; //更新栈顶
}
}
for(int i=1;i<=q;i++)
printf("%d\n",ans[i]);
}
return 0;
}
（感觉讲的好乱啊……有什么没看懂的还是直接问邮箱吧🙂）
The End
Thanks for reading!
- Lucky_Glass
