位运算简介以及常用技巧

A.什么是位运算 ?

计算机里的内存都是用 二进制 储存的，说白了位运算就是对这些 二进制数 去操作
由于是直接对 二进制数 去进行操作，就会有许多优秀的性质.
一般来说有这么几个常用的 位运算 符号 ：

位运算符号	名称	规则	例子
&	与运算符	相同位的两个数字都为 \(1\) 则为 \(1\); 若有一个不为 \(1\), 则为 \(0\)	1100 & 1010 = 1000
|	或运算符	相同位要有一个为 1 则为 1	1100 | 1010 = 1110
^	异或运算符	相同位不同则为 \(1\), 相同则为 \(0\)	1100 ^ 1010 = 0110
~	取反运算符	\(0\) 和 \(1\) 全部取反	~1001 = 0110
<<	左移运算	x << n 相当与 \(x \times 2 ^ n\)	101 << 2 = 10100
>>	右移运算	x >> n 相当于 \(x / 2 ^ n\)	1010 >> 2 = 10

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B.二进制枚举

0. 代替一类 0/1 dfs

一个二进制数的 \(0/1\) 可以代表集合中某一个元素选与不选
既然这样我们只要枚举一个二进制数就可以代替递归版本的 dfs
这样做虽然可以避免递归操作的较大常数
但是我们只得到了一个二进制数，我们还要把它用 \(O(logn)\) 的时间复杂度把它解码，emmm...反正看情况哪个方便用哪个呗qwq

1. 枚举子集

for(int i = S; i; i = i - 1 & S)

2. 枚举包含指定元素的集合

for(int i = S; i; i = i + 1 | S)

3. 枚举指定个数元素的集合*（常数有点大）

int x, b, t, c, m, r;
	x = BinRd();
	b = x & -x;
	t = x + b; 
	c = t ^ x; 
	m = (c >> 2) / b;
	r = t | m;

C.一种位运算的前缀求和

1.求：

\[\sum_{i = 1}^n\sum_{j =1}^iA_i xor A_j \]

可以去处理数组 \(pre[i][32][0 / 1]\) 表示 \(i\) 之前的数某一位上有多少个 \(0 / 1\)

每一位分别 \(logn\) 计算答案，\(logn\) 修改 前缀 \(pre\) 数组

假如把 \(xor\) 换成 \(and\) 的话只要计算某一位上有多少个 \(1\) 就好了，可以少一维

2.求：

\[\sum_{i < j < k} (A_ixorA_j) \times (A_jxorA_k) \]

发现 \(j\) 在中间，那么我们求一个 \(bit[32][0 / 1]\) 前缀和，求一个 \(bit[32][0 / 1]\) 后缀和

枚举每一个位置 \(logn\) 计算就好了