cogs1600 奶牛冰壶 计算几何

链接：http://cogs.pro/cogs/problem/problem.php?pid=1600

题意：两方打冰壶，分别计算出双方用三个以上球夹住的对方球的数量。

首先我们要明确一点：这个问题可以转化为求出凸包内包含的点的数量。理由很显然：如果你用三个不在凸包外延的点夹住了某颗石头，比它们范围更大的凸包一定也可以夹住它。因此问题转化为求出凸包内包含的另一方点的数量。首先，凸包可以在$O(nlogn)$时间内求出，因此问题就转化为如何判断点是否在凸包内。

一种判断点在多边形之内的方法是射线法，即由该点向任意方向射出一条射线，判断与多边形交点数目，如果是奇数次相交证明在多边形内部。但这样会带来一个问题：如果射线与图形非规范相交需要再引出射线，而如何判断是否规范相交又是个大问题，这样会引起码量急剧上升，时间效率却不太好。

为此，这里介绍一种更快、难度更小、范围更广（甚至自交的多边形也可以）的判断方法：转角法。基本思想就是看多边形转一圈是相对这个点转了多少，$360°$为在图形外，$0°$为在图形内，$180°$为在图形上。但是如果直接计算，这样会涉及大量反三角函数，效率低还是其次，更大的问题是精度爆炸成GTX690。因此，我们实际上的操作是假想这个点拉出一条向右的射线，正着过次数+1，反着过次数-1，最后只要不是0，点就在多边形里面了。具体实现可以参考代码。

问题的解法很明显了。首先分别求出双方冰壶组成的凸包，随后对于每一个点，判断是否被对方凸包覆盖。可能有人会担心超时，因为最坏情况下检查是$O(n^2)$的，但实际上算法效果非常好，不但没有超时还上了榜。

本题最大的坑点在于：边界线计入图形内部……

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=50005;
const double eps=1e-8;
int n;
struct point
{
    double x,y;
    bool operator<(const point &b)const 
    {
        return x==b.x?y<b.y:x<b.x;
    }
    friend point operator -(point a,point b)
    {
        return (point){a.x-b.x,a.y-b.y};
    }
}pa[maxn],pb[maxn];
vector<point>convexa,convexb;
double dis(point a,point b)
{
    return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}
double cross(point a,point b)
{
    return a.x*b.y-b.x*a.y;
}
double across(point a,point b,point c)
{
    return cross(b-a,c-a)>eps;
}
int s[maxn],vis[maxn];
void graham()
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    sort(pa+1,pa+n+1);
    s[0]=0;s[++s[0]]=1;s[++s[0]]=2;
    for(int i=3;i<=n;i++)
    {
        while(s[0]>1&&!across(pa[s[s[0]]],pa[i],pa[s[s[0]-1]]))s[0]--;
        s[++s[0]]=i;
    }
    for(int i=1;i<=s[0];i++)vis[s[i]]=1,convexa.push_back(pa[s[i]]);
    s[0]=0;s[++s[0]]=n;s[++s[0]]=n-1;
    for(int i=n-2;i;i--)
    {
        while(s[0]>1&&across(pa[s[s[0]]],pa[s[s[0]-1]],pa[i]))s[0]--;
        s[++s[0]]=i;
    }
    for(int i=1;i<=s[0];i++)
        if(!vis[s[i]])convexa.push_back(pa[s[i]]);
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    sort(pb+1,pb+n+1);
    s[0]=0;s[++s[0]]=1;s[++s[0]]=2;
    for(int i=3;i<=n;i++)
    {
        while(s[0]>1&&!across(pb[s[s[0]]],pb[i],pb[s[s[0]-1]]))s[0]--;
        s[++s[0]]=i;
    }
    for(int i=1;i<=s[0];i++)vis[s[i]]=1,convexb.push_back(pb[s[i]]);
    s[0]=0;s[++s[0]]=n;s[++s[0]]=n-1;
    for(int i=n-2;i;i--)
    {
        while(s[0]>1&&across(pb[s[s[0]]],pb[s[s[0]-1]],pb[i]))s[0]--;
        s[++s[0]]=i;
    }
    for(int i=1;i<=s[0];i++)
        if(!vis[s[i]])convexb.push_back(pb[s[i]]);
}
int dcmp(double x)
{
    if(fabs(x)<eps)return 0;
    return x<0?-1:1;
}
double dot(point a,point b)
{
    return a.x*b.x+a.y*b.y;
}
bool onsegment(point p,point a1,point a2)
{
    return dcmp(cross(a1-p,a2-p))==0&&dcmp(dot(a1-p,a2-p))<0;
}
int ispointinpolygon(point p,vector<point>tmp)
{
    int wn=0,t=tmp.size();
    for(int i=0;i<t;i++)
    {
        if(onsegment(p,tmp[i],tmp[(i+1)%t]))return 1;
        int k=dcmp(cross(tmp[(i+1)%t]-tmp[i],p-tmp[i]));
        int d1=dcmp(tmp[i].y-p.y),d2=dcmp(tmp[(i+1)%t].y-p.y);
        if(k>0&&d1<=0&&d2>0)wn++;
        if(k<0&&d2<=0&&d1>0)wn--;
    }
    return wn!=0;
}
int haha()
{
    freopen("curling.in","r",stdin);
    freopen("curling.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf%lf",&pa[i].x,&pa[i].y);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf%lf",&pb[i].x,&pb[i].y);
    graham();
    int ans1=0,ans2=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)ans2+=ispointinpolygon(pa[i],convexb),ans1+=ispointinpolygon(pb[i],convexa);
    printf("%d %d\n",ans1,ans2);
}
int sb=haha();
int main(){;}