[Uva 11889] Benefit

题目描述

给定两个正整数\(A和C\)，若存在\(B\)，满足\(lcm(A,B)=C\)，则输出满足条件的最小的\(B\)，若不存在，则输出NO SOLUTION。
分段得分、强化数据版本在此处：强化版题目，这里无解输出\(-1\)。

题目解答

无解情况

首先分析不存在的情况，既然\(C\)是最小公倍数了，是倍数，那么必定有\(A|C\)，所以首先判断\(CmodA\)，无解情况就弄完了。

40分，暴力分

首先写好欧几里得算法，也就是辗转相除法求最大公因数。又根据公式\(\frac {AB} {gcd(A,B)} = lcm(A,B)\)，从\(1\)枚举到\(C\)来求\(B\)。
代码如下：

#include<cstdio>
int gcd(int a, int b)
{
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}
int main()
{
    int a, c, t, j, b, d;
    scanf("%d", &t);
    for(int i = 1; i <= t; i++)
    {
        scanf("%d%d", &a, &c);
        if(c % a)
    	    j = -1;
    	else
    	    for(j = 1; j <= c ; j++)
            {
    			int r = a * j / gcd(a,j);
    			if(r == c)
        			break;
    	    }
        printf("%d\n", j);
    }
    return 0;
}

可能是80分的妙法

是别人在做题的时候想到的一种方法（虽然没有尝试）。
初始化处理好\(10^7\)以内的数的最小因数来加速运算（用欧拉筛法，\(O(n)\)预处理），每次询问就是\(O(log _{2} n)\)。

100分完美做法

注意到\(\frac {AB} {gcd(A,B)} = C\)，则有：

\[\frac {B} {gcd(A,B)} = \frac {C} {A} \]

然后就有一个重要的东西：
若\(A \perp B\)，则此时的\(B\)为最小的\(B\)。证明很简单，按照上面的公式套就行了。
如果\(A和B\)有公共部分呢？
很简单，如果有公共部分时，\(B\)绝对不会满足条件，那么解决办法就是扩大\(B\)。注意到此时的\(B和A\)乘积恒为\(C\)，扩大\(B\)的办法就是将\(A\)中与\(B\)重复的部分转给\(B\)，直到\(A \perp B\)为止。因为这是恰好将要求的\(B\)补满了，所以这是最小的解。代码如下：

#include <cstdio>
int gcd(int n, int m)
{
    return (n = n % m) ? gcd(m, n) : m;
}
inline int solve(int a, int b)
{
    int r;
    while((r = gcd(a, b)) > 1)
        a /= r, b *= r;
    return b;
}
int main()
{
    int T, A, C;
    scanf("%d", &T);
    for(register int i = 0; i < T; i++)
        scanf("%d%d", &A, &C), C % A ? printf("-1\n") : printf("%d\n", solve(A, C / A));
    return 0;
}

时间复杂度大约为\(O(Tlog \, A)\)，洛谷上测试的最大耗时测试点耗时为756ms。
读入输出优化后如下：

#include <cstdio>
int gcd(int n, int m)
{
    return (n = n % m) ? gcd(m, n) : m;
}
inline int solve(int a, int b)
{
    int r;
    while((r = gcd(a, b)) > 1)
        a /= r, b *= r;
    return b;
}
inline int read()
{
    int x = 0;
    char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9')
        ch = getchar();
    while(ch >= '0' && ch <= '9')
        x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar();
    return x;
}
inline void Putout(int x)
{
    int i = 0, a[10];
    if(x)
    {
        while(x)
            a[i++] = x % 10, x /= 10;
        while(i--)
            putchar(a[i]+'0');
    }
    else
        putchar('-'), putchar('1');
    putchar('\n');
}
int main()
{
    int T, A, C;
    T = read();
    for(register int i = 0; i < T; i++)
        A = read(), C = read(), C % A ? Putout(0) : Putout(solve(A, C / A));
    return 0;
}

最终最大耗时测试点耗时344ms。

特别感谢

• 感谢洛谷ID为曦月__OFN的dalao对我的支持和帮助（提出强化数据建议和方案）；
• 感谢洛谷ID为Twilight_的dalao提出的80分解法（本来卡一卡可以过）；
• 感谢昵称为阮行止的dalao对80分解法的讨论；
• 感谢洛谷平台的支持

写在最后

感谢大家的关注和阅读。
本文章借鉴了少许思路，最后经过本人思考独立撰写此文章，如需转载，请注明出处。