DP优化之斜率优化

DP优化之单调队列 专题

和单调队列有很多交集。。。

斜率优化理论不说多。一个式子至于变量i有关就极为belong[i];

就是DP方程满足了f[i]=max{belong1[j]+belong1[i]*belong2[j]+belong2[i]}

于是我们就说可以得到斜率belong1[i].以点(belong2[j],belong1[j])组成的凸壳。

求max就是保留上凸，min保留下凸。

---------------------------------------------------------------------

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3045

【HDU3045】【Picnic Cows】【斜率优化】 

题目给定数列A，要求排序后，将这些数字分成若干组，每组至少m个数字。

f[i]=min{f[j]+(sum[i]-sum[j]-(i-j+1)*sum[j+1])}

f[i]=min{f[j]-sum[j]+(j-1)*sum[j+1]-i*sum[j+1]+sum[i]}

第一部分只与j有关，第三部分只与i有关，第二部分既与i有关又与i有关。

把-i当做斜率。（sum[j+1],f[j]-sum[j]+(j-1])*sum[j+1])插入凸壳中。因为是求min

所以保留下凸即可。

http://poj.org/problem?id=3709

【pku3709】【K-Anonymous Sequence】【斜率优化】 

跟上面那题一样！

http://poj.org/problem?id=2018

【pku2018】【Best Cow Fences】【斜率优化】

题目给定一个一对点(i,f[i])求max{(f[i]-f[j])/(i-j)}

这时候其实是求一个最大斜率，保存一个下凸就可以了。

http://61.187.179.132:8080/JudgeOnline/showproblem?problem_id=1010

【HYOJ1010】【玩具装箱toy】【斜率优化】

题目给定一个序列C。一个长度L

把序列分成若干组使得所有组(sumC+numC-1-L)^2的总和最小。

numC表示该组中元素数，sumC表示该组中C的和。

f[i]=min{f[j]+sqr(sum[i]-sum[j]+(i-j-1)-L)}

f[i]=min{f[j]+sqr(sum[j]+j+1+L)-2*(sum[i]+i)*(sum[j]+j+1+L)+sqr(sum[i]+i)}

第一部分只与j有关，第三部分至于i有关，第二部分与i和j都有关。

以(2*(sum[i]+i))为斜率，以（sum[j]+j+1+L,f[j]+sqr(sum[j]+j+1+L))插入凸壳。

求最小值维护下凸即可。

http://61.187.179.132:8080/JudgeOnline/showproblem?problem_id=1911

【HYOJ1911】【RQNOJ533】【APIO2010】【特别行动部队】【斜率优化】

因为是2次函数，采用相同的方法可以分离系数。分成三部分。

【推荐！！！】

http://61.187.179.132:8080/JudgeOnline/showproblem?problem_id=1713

这题很棒！！！

首先n^4的方法是显然的！

f[i][j]=max{f[i'][j']+a[i]*b[j]}

在稍加分析一下会发现

f[i][j]=max{max{f[i-1][j']+a[i]*b[j]},max{f[i'][j-1]}}

再采用斜率优化得到了n^2的方法。于是AC之~

#include<cstdio>
#define N 50010
#define LL long long 

using namespace std;


LL que[N][2],sum[N],A[N],B[N],f[N],data[N];
LL n,last,L,tail;
LL sqr(LL x) {return x*x;}
LL cross(LL a[2],LL b[2],LL c[2])
{
    return (b[0]-a[0])*(c[1]-a[1])-(b[1]-a[1])*(c[0]-a[0]);
}
void hulladd(LL x,LL y)
{
     LL node[2];
     node[0]=x;node[1]=y;
     while (tail>=2 && cross(node,que[tail],que[tail-1])>=0) --tail;
     ++tail;que[tail][0]=node[0];que[tail][1]=node[1];
     last <?= tail;        
}
LL query(LL x)
{
     while (last<tail && x*que[last][0]+que[last][1]>x*que[last+1][0]+que[last+1][1])
           ++last;
     return que[last][0]*x+que[last][1];
}  
int main()
{ 
    freopen("HYOJ1010.in","r",stdin);
    freopen("HYOJ1010.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&L);last=1;
    for (LL i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%d",&data[i]);
        sum[i]=sum[i-1]+data[i];
    }
    for (LL i=0;i<=n;++i)
        A[i]=sum[i]+i,B[i]=sum[i]+i+1+L;
    for (LL i=1;i<=n;++i)
    {
        f[i]=sqr(sum[i]+i-L-1);
        if (i>1)
        {
                hulladd(B[i-1],sqr(B[i-1])+f[i-1]);
                f[i] <?= query(-2*A[i])+sqr(A[i]);
        }
    }
  //  for (LL i=1;i<=n;++i) printf("%d ** %d\n",i,f[i]);
    printf("%I64d\n",f[n]); 
}

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define N 100010

int que[N][2],a[N],sum[N],f[N];
int n,m,temp,tail,ans;
int cross(int a[2],int b[2],int c[2])
{
    return (b[0]-a[0])*(c[1]-a[1])-(b[1]-a[1])*(c[0]-a[0]);
}
void hulladd(int x,int y)
{
     int node[2];
     node[0]=x;node[1]=y;
     while (tail>=2 && cross(node,que[tail],que[tail-1])>=0) --tail;
     ++tail;que[tail][0]=x;que[tail][1]=y;
}
int query(int x,int y)
{
    int tt=tail,node[2];
    node[0]=x;node[1]=y;
    while (tt>=2 && cross(node,que[tt],que[tt-1])>=0) --tt;
    return 1000*(y-que[tt][1])/(x-que[tt][0]);
}
int main()
{
    freopen("pku2018.in","r",stdin);
    freopen("pku2018.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]);
    for (int i=1;i<=n;++i) sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    for (int i=m;i<=n;++i)
    {
        f[i]=1000*sum[i]/i;
      //  printf("%d %d \n",i,f[i]);
        
        if (i>m)
        {
                hulladd(i-m,sum[i-m]);
                temp=query(i,sum[i]);
                if (temp>f[i]) f[i]=temp;
        }
       // printf("%d %d \n",i,f[i]);
    }
    for (int i=m;i<=n;++i) 
    {
     //   printf("%d %d\n",i,f[i]);
        if (f[i]>ans) ans=f[i];
        }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define N 400010
#define LL long long
using namespace std;

LL tail,a[N],que[N][2],sum[N],n,m,last,f[N],i,j,t;

LL cross(LL a[2],LL b[2],LL c[2])
{
    return (b[0]-a[0])*(c[1]-a[1])-(b[1]-a[1])*(c[0]-a[0]);
}
void hulladd(LL x,LL y)
{
     LL node[2];
     node[0]=x;node[1]=y;
     while (tail>=1 && x==que[tail][0] && y<que[tail][1]) --tail;
     if (tail>0 && que[tail][0]==x && y>=que[tail][1]) return;
     while (tail>=2 && cross(node,que[tail],que[tail-1])>=0) --tail;
     ++tail;que[tail][0]=node[0];que[tail][1]=node[1]; 
     last<?=tail;
 }
LL query(LL x)
{
    last=tail;
    while (last>1 && que[last][0]*x+que[last][1]>que[last-1][0]*x+que[last-1][1])
          --last;
    return que[last][0]*x+que[last][1];
}
void qsort(LL l,LL r)
{
     LL mid=a[(l+r)/2],i=l,j=r;
     while (i<j)
     {
           while (a[i]<mid) ++i;
           while (a[j]>mid) --j;
           if (i<=j)
           {
                    t=a[i];a[i]=a[j];a[j]=t;
                    ++i;--j;
           }
     }
     if (i<r) qsort(i,r);
     if (l<j) qsort(l,j);
 }
int main()
{
    freopen("HDU3045.in","r",stdin);
    freopen("HDU3045.out","w",stdout);
    
   while (scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
   {
    for (LL i=0;i<n;++i) scanf("%I64d",&a[i]);
    qsort(0,n-1);
    for (LL i=n;i>=1;--i) a[i]=a[i-1];a[0]=0;
    for (LL i=0;i<=n;++i) sum[i]=0;
    for (LL i=1;i<=n;++i) sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    tail=0;last=1;
    if (m==0) {printf("0\n");continue;}
    for (LL i=m;i<=n;++i)
    {
        f[i]=sum[i]-i*a[1];
        if (i==n) 
        {
                  i=n;
        }
        if (i-m>=m)
        {
           hulladd(a[i-m+1],f[i-m]-sum[i-m]+(i-m)*a[i-m+1]);
           f[i]<?=query(-i)+sum[i];
        }
    }
    printf("%I64d\n",f[n]);
   }
    return 0;
}

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define N 500010
#define LL long long
using namespace std;

LL tail,a[N],que[N][2],sum[N],n,m,last,f[N],i,j,t,T,temp;

LL cross(LL a[2],LL b[2],LL c[2])
{
    return (b[0]-a[0])*(c[1]-a[1])-(b[1]-a[1])*(c[0]-a[0]);
}
void hulladd(LL x,LL y)
{
     LL node[2];
     node[0]=x;node[1]=y;
     while (tail>=1 && x==que[tail][0] && y<que[tail][1]) --tail;
     if (tail>0 && que[tail][0]==x && y>=que[tail][1]) return;
     while (tail>=2 && cross(node,que[tail],que[tail-1])>=0) --tail;
     ++tail;que[tail][0]=node[0];que[tail][1]=node[1]; 
 }
LL query(LL x)
{
    last=tail;
    while (last>1 && que[last][0]*x+que[last][1]>que[last-1][0]*x+que[last-1][1])
          --last;
    return que[last][0]*x+que[last][1];
}
void qsort(LL l,LL r)
{
     LL mid=a[(l+r)/2],i=l,j=r;
     while (i<j)
     {
           while (a[i]<mid) ++i;
           while (a[j]>mid) --j;
           if (i<=j)
           {
                    t=a[i];a[i]=a[j];a[j]=t;
                    ++i;--j;
           }
     }
     if (i<r) qsort(i,r);
     if (l<j) qsort(l,j);
 }
int main()
{
    freopen("pku3709.in","r",stdin);
    freopen("pku3709.out","w",stdout);
   scanf("%d",&T);

   while (scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
   {
    for (LL i=0;i<n;++i) scanf("%I64d",&a[i]);
    qsort(0,n-1);
    for (LL i=n;i>=1;--i) a[i]=a[i-1];a[0]=0;
    for (LL i=0;i<=n;++i) sum[i]=0;
    for (LL i=1;i<=n;++i) sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    tail=0;last=1;
    if (m==0) {printf("0\n");continue;}
    for (LL i=m;i<=n;++i)
    {
        f[i]=sum[i]-i*a[1];
        if (i==n) 
        {
                  i=n;
        }
        if (i-m>=m)
        {
           hulladd(a[i-m+1],f[i-m]-sum[i-m]+(i-m)*a[i-m+1]);
           temp=query(-i)+sum[i];
           if (temp<f[i]) f[i]=temp;
        }
    }
    printf("%I64d\n",f[n]);
   }

    return 0;
}

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define N 1001000
#define LL long long
using namespace std;

LL tail,last;
LL que[N][2],s[N],f[N],ans,data[N],n,a,b,c;
LL sqr(LL x) {return x*x;}
LL cross(LL a[2],LL b[2],LL c[2])
{
    return (b[0]-a[0])*(c[1]-a[1])-(b[1]-a[1])*(c[0]-a[0]);
}
void hulladd(LL x,LL y)
{
     LL node[2];
    // printf("***%I64d %I64d\n",x,y);
     node[0]=x;node[1]=y;
     while (tail>=2 && cross(node,que[tail],que[tail-1])<=0) --tail;
     ++tail;que[tail][0]=node[0];que[tail][1]=node[1];
     last<?=tail;
 }
LL query(LL x)
{
    //++last;last<?=tail;
    //last=tail;
    while(last<tail && que[last][0]*x+que[last][1]<que[last+1][0]*x+que[last+1][1]) ++last;
    while (last>1 && que[last][0]*x+que[last][1]<que[last-1][0]*x+que[last-1][1]) --last;
  //  printf("%I64d %I64d %I64d\n",x,last,tail);
  //  if (last+1<tail) {printf("--------");}
    return que[last][0]*x+que[last][1];
    
}
int main()
{
    freopen("rq533.in","r",stdin);
    freopen("rq533.out","w",stdout);
    scanf("%I64d",&n);last=1;tail=0;
    scanf("%I64d%I64d%I64d",&a,&b,&c);
    
    for (LL i=1;i<=n;++i) scanf("%I64d",&data[i]);
    for (LL i=1;i<=n;++i) s[i]=s[i-1]+data[i];
    for (LL i=1;i<=n;++i)
    {
        
        f[i]=a*sqr(s[i])+b*s[i]+c;
      //  printf("%I64d\n",f[i]);
        if (i>1)
        {
                hulladd(s[i-1],a*sqr(s[i-1])+f[i-1]);
                f[i]>?=query(-(2*a*s[i]+b))+c+a*sqr(s[i])+b*s[i];
        }
      //  printf("%I64d\n",f[i]);
    }
  // for (int i=1;i<=n;++i) printf("%d\n",f[i]);
    printf("%I64d\n",f[n]);
    return 0;
}

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define N 1001
#define LL long long
using namespace std;

LL ans,last[N],que[N][N][2],a[N],b[N],sa[N],sb[N],n,tail[N],f[N][N];
LL sqr(LL x) {return x*x;}
LL cross(LL a[2],LL b[2],LL c[2])
{
    return (b[0]-a[0])*(c[1]-a[1])-(b[1]-a[1])*(c[0]-a[0]);
}
void hulladd(LL id,LL x,LL y)
{
     LL node[2];
     node[0]=x;node[1]=y;
     while (tail[id]>=2 && cross(node,que[id][tail[id]],que[id][tail[id]-1])<=0) --tail[id];
     ++tail[id];
     que[id][tail[id]][0]=x;que[id][tail[id]][1]=y;
     last[id]<?=tail[id];
 }
LL query(LL id,LL t)
{
    LL temp1,temp2;
    while (last[id]>1 && que[id][last[id]][0]*t+que[id][last[id]][1]<que[id][last[id]-1][0]*t+que[id][last[id]-1][1])
      --last[id];
    while (last[id]<tail[id] && (temp1=que[id][last[id]][0]*t+que[id][last[id]][1])<(temp2=que[id][last[id]+1][0]*t+que[id][last[id]+1][1]))
      ++last[id];
    return que[id][last[id]][0]*t+que[id][last[id]][1];
}
int main()
{
    freopen("HYOJ1713.in","r",stdin);
    freopen("HYOJ1713.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    ans=-99999;
    for (LL i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]),sa[i]=sa[i-1]+a[i];
    for (LL i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&b[i]),sb[i]=sb[i-1]+b[i];
    for (LL i=1;i<=n;++i) tail[i]=0,last[i]=1;
    for (LL i=1;i<=n;++i)
    {
        tail[0]=0;last[0]=1;
        for (LL j=1;j<=n;++j)
        {
            f[i][j]=a[i]*b[j]-sqr(sa[i-1])-sqr(sb[j-1]);
            if (i>1)
            {
                    if (j>1)
                    {
                            if (i==4 && j==3)
                               {
                                     i=4;
                               }
                            hulladd(0,sb[j-1],f[i-1][j-1]-sqr(sb[j-1]));
                            f[i][j]>?=query(0,2*sb[j-1])+a[i]*b[j]-sqr(sb[j-1]);
                            hulladd(j-1,sa[i-1],f[i-1][j-1]-sqr(sa[i-1]));
                            f[i][j]>?=query(j-1,2*sa[i-1])+a[i]*b[j]-sqr(sa[i-1]);
                    }
            }
            ans >?=f[i][j]-sqr(sa[n]-sa[i])-sqr(sb[n]-sb[j]);
        }
    }
  // for (LL i=1;i<=n;++i)
  //     for (LL j=1;j<=n;++j)
   //    prLLf("%d %d %d\n",i,j,f[i][j]);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}