编程之美 4.6桶中取黑白球

问题：有一个桶，里面放有白球、黑球各100个，人们必须按以下规则取出：

1.每次从桶里取出两个球

2.如果两个同色，就放入一个黑球

3.如果两个异色，就放入一个白球

最后桶里只剩下一个黑球的概率是多少？

解法一：

原理：先将问题的规模缩小，然后枚举其操作的过程，找出规律，其实就是归纳法。

原命题的黑白各100，我们可以设为黑白各2个来看看，下面以这种方式表示（黑，白）的数目。

第一次操作可能的情况：

（1,2）或（3,0）

第二次操作可能的情况：

（2,0）或（0,2）

第三次操作可能的情况：

（1,0）或（1,0）

可以看出经过3次操作后，都只剩下一个黑球，总结一下其规律：

1.不论黑白，每次都会减少一个球，最后桶内肯定只剩一个球。

2.每次拿球，白球数量要么不变（-1黑-1白+1白），要么就两个两个地减少（-2白+1黑）

解法二：

原理：用数学的思路来解，利用异或（XOR）的性质来解答。

两个相同的数，xor=0（黑为0）

两个不同的数，xor=1（白为1）

上面的取球操作就可以抽象成：每次捞出两个数做一次xor，并将所得结果放回桶中。

假设取球过程如下：

1.先取两个黑，放入一个黑。0 XOR 0 =0，结果为（1,2）

2.取一黑一白，放入一个白。0 XOR 1 =1，结果为（0,2）

3.最后只能取两个白，1 XOR 1 =0，结果为（1,0）

因为异或满足结合律，即（a XOR b）XOR c=a XOR（b XOR c）

所以上面的操作的先后顺序不影响最终结果，取球过程相当于将里面所有球进行XOR操作。

因此，剩下一个球的时候，桶中的权值等于初始时刻所以球权值的异或值，也就是0（黑色）。

扩展问题：

1.若桶中黑白球个数各为99，那结果如何？

根据解法二，其异或值为1，即最后剩下的一定是白球。

2.如果黑白球数量不定，那结果如何？

还是看异或值，即黑白球的奇偶性。