NOIp十连测 涂色游戏

【问题描述】
小A 和小B 在做游戏。
他们找到了一个n 行m 列呈网格状的画板。小A 拿出了p 支不同颜色的画笔，开始在上面涂色。看到小A 涂好的画板，小B 觉得颜色太单调了，于是把画板擦干净，希望涂上使它看起来不单调的颜色（当然，每个格子里只能涂一种颜色）。小B 想知道一共有多少种不单调的涂色方案。我们定义一个涂色方案是不单调的，当且仅当任意相邻两列都出现了至少q 种颜色。

题解：

都能看出来这是道矩乘题。但是比较变态。

先不考虑矩阵，状态是f[ i ][ j ],指前i列已经填好，第i列共有j种不同颜色的方案数。

这里需要一个另外的g，用来算将j种颜色填入n个格子的方案数。

先来看一下g：（我用的是容斥）

    for(int i=1;i<=100;i++)
    {
        g[i]=fast(i,n);//(快速幂)
        for(int j=1;j<i;j++)
        {
            g[i] = ((g[i] - g[j]*C[i][j]%MOD)%MOD+MOD)%MOD;
        }
    }

什么意思？

首先什么都不考虑，n个格子都有i种选择，得到i^n。

但是有个问题，就是原来让他有j种颜色，但是最终不够j。因此还要减掉g[ k ]*C[ j ][ k ]。

这样g就求完了。

然后就是状态转移方程了。

设前一列有k种颜色，当前列有j种颜色。

我分了几种情况：

1.k+j<q。这样无法转移……

2.k>=q或j>=q，这样当前列可以随便选，式子比较简单粗暴：

3.其他情况。这里需要枚举j中与k重合的有多少种。

最后转矩阵乘法。时间复杂度O(n^3*log m)。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MOD 998244353
#define ll long long
ll C[205][205],g[105];
int n,m,p,q;
ll fast(ll x,int y)
{
    ll ret = 1ll;
    while(y)
    {
        if(y&1)ret=ret*x%MOD;
        x=x*x%MOD;
        y>>=1;
    }
    return ret;
}
struct mt
{
    ll s[105][105];
}j0,j1;
mt operator * (mt a,mt b)
{
    mt ret;
    for(int i=1;i<=p;i++)
    {
        for(int j=1;j<=p;j++)
        {
            ret.s[i][j]=0;
            for(int k=1;k<=p;k++)
            {
                (ret.s[i][j]+=a.s[i][k]*b.s[k][j]%MOD)%=MOD;
            }
        }
    }
    return ret;
}
void init()
{
    C[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=200;i++)
    {
        C[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%MOD;
        }
    }
    for(int i=1;i<=100;i++)
    {
        g[i]=fast(i,n);
        for(int j=1;j<i;j++)
        {
            g[i] = ((g[i] - g[j]*C[i][j]%MOD)%MOD+MOD)%MOD;
        }
    }
    for(int j=1;j<=p;j++)
    {
        for(int k=1;k<=p;k++)
        {
            if(j+k<q)
            {
                j0.s[j][k]=0;
            }else
            {
                if(k<q&&j<q)
                {
                    for(int x=max(q,j)-k;x<=j&&x+k<=p;x++)
                    {
                        (j0.s[j][k]+=C[k][j-x]*C[p-k][x]%MOD*g[j]%MOD)%=MOD;
                    }
                }else
                {
                    j0.s[j][k]=C[p][j]*g[j]%MOD;
                }
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=p;i++)j1.s[i][1]=g[i]*C[p][i]%MOD;
}
mt fastt(mt x,int y)
{
    mt ret;
    ret=x;
    y--;
    while(y)
    {
        if(y&1)ret=ret*x;
        x=x*x;
        y>>=1;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    freopen("color.in","r",stdin);
    freopen("color.out","w",stdout);
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&p,&q);
    init();
    mt ans = fastt(j0,m-1);
    ans = ans*j1;
    ll as = 0;
    for(int i=1;i<=p;i++)
        as = (as+ans.s[i][1])%MOD;
    printf("%lld\n",as);
    return 0;
}