算法60---石子游戏/传球游戏【动态规划】
一、题目:
亚历克斯和李用几堆石子在做游戏。偶数堆石子排成一行,每堆都有正整数颗石子 piles[i]
。
游戏以谁手中的石子最多来决出胜负。石子的总数是奇数,所以没有平局。
亚历克斯和李轮流进行,亚历克斯先开始。 每回合,玩家从行的开始或结束处取走整堆石头。 这种情况一直持续到没有更多的石子堆为止,此时手中石子最多的玩家获胜。
假设亚历克斯和李都发挥出最佳水平,当亚历克斯赢得比赛时返回 true
,当李赢得比赛时返回 false
。
示例:
输入:[5,3,4,5] 输出:true 解释: 亚历克斯先开始,只能拿前 5 颗或后 5 颗石子 。 假设他取了前 5 颗,这一行就变成了 [3,4,5] 。 如果李拿走前 3 颗,那么剩下的是 [4,5],亚历克斯拿走后 5 颗赢得 10 分。 如果李拿走后 5 颗,那么剩下的是 [3,4],亚历克斯拿走后 4 颗赢得 9 分。 这表明,取前 5 颗石子对亚历克斯来说是一个胜利的举动,所以我们返回 true 。
提示:
2 <= piles.length <= 500
piles.length
是偶数。1 <= piles[i] <= 500
sum(piles)
是奇数。
思路:动态规划:时间O(N^2),空间O(N^2)
- dp[i][j]表示:表示在piles中下标 i 至下标 j 之间的玩家1 所拿石子总数和 玩家2所拿石子总数之差。dp[i][j] > 0 表明玩家1赢,输出True
- 子问题:dp[ i+1 ][ j ]和dp[ i ][ j-1 ]
- 初始状态:dp的初始状态是 i = j 即只有一个石子堆,由于玩家1先拿,则 dp[ i ][ j ] = piles[ i ]
- 状态方程:
dp[ i ][ j ] = max( piles[ i ] - dp[ i+1 ][ j ], piles[ j ] - dp[ i ][ j-1 ])
【解释:当玩家1拿了最左边下标为 i 的石子后,玩家1和玩家2的石子数之差为 piles[ i ] - dp[ i+1 ][ j ], 当玩家1拿了最右边下标为j的那堆石子后,玩家1和玩家2的石子数之差为 piles[ j ] - dp[ i ][ j-1 ], 取其中较大者为新的最优解。】
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代码:
def stronegame(piles): n = len(piles) dp = [[0] * n for i in range(n)] for i in range(n): dp[i][i] = piles[i] for i in range(n-2,-1,-1): for j in range(i+1,n): dp[i][j] = max(piles[i]-dp[i+1][j],piles[j]-dp[i][j-1]) return dp[0][-1] > 0 piles = [5,3,4,5] stronegame(piles)
二、题目:传球游戏
k个猿辅导老师,传一个球,传n次,球从A老师手里开始传,又传回A老师手里的传球方式有多少种?(每次可以传给除自己外的任何一个人)比如输入k=3,n=3,那么输出为2。只有二种传球方式:abca,acba
这个题,递推即可,每一个传球,只有两种可能,一种球在A老师手里,一种球不在A老师手里
令dp[n][0]表示球在A老师手里的方案数,令dp[n][1]表示球不在A老师手里的方案数,于是
dp[n+1][0]=dp[n][1]
dp[n+1][1]=dp[n][0]*k+dp[n][1]*(k-1)