[BZOJ3000]Big Number

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BZOJ3000.

好题？秒出想法然后被各种卡精度

• 前置芝士：Stirling公式

在\(n\)较大时，有近似公式：

\[n!\sim \sqrt{2n\pi}(\frac ne)^n \]

首先，显然有答案位数\(=\left\lfloor log_kn!\right\rfloor+1\)

\(=\left\lfloor log_k(\sqrt{2n\pi}(\frac ne)^n)\right\rfloor+1\)

\(=\left\lfloor log_k\sqrt{2n\pi}+nlog_k\frac ne \right\rfloor+1\)

\(\pi=acos(-1),e=exp(1),log_k\)可以使用\(log_2\)配合换底公式实现。

但是要注意，\(n\)较小时Stirling公式的相对误差较大，需要使用\(\left\lfloor log_kn!\right\rfloor+1=\left\lfloor \sum_{i=1}^nlog_ki\right\rfloor+1\)暴力计算。

代码：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#define Log(a,b) (log(b)/log(a))

int n,k;
const double Pi=acos(-1),e=exp(1);

int main()
{
	while(~scanf("%d%d",&n,&k))
		if(n<=10000)
		{
			double Sum=0;
			for(int i=2;i<=n;++i)Sum+=Log(k,i);
			printf("%.f\n",floor(Sum+1e-8)+1);//eps防止精度误差
		}
		else printf("%.f\n",floor(Log(k,sqrt(2.0*n*Pi))+n*Log(k,n/e)+1e-8)+1);//公式计算
	return 0;
}